甲某11岁时父亲因病去世，母亲又组建了家庭。继父因不能生育，视甲某如亲生儿子，日常生活中的吃穿用大都由母亲和继父来负担。甲某长大成人结婚生子后，继父和母亲的关系开始恶化，最终解除了婚姻关系。继父年老患病后，想起当初自己对甲某的付出，希望他能负担一些自己的生活费和医疗费，但甲某坚决不同意，请问甲某对继父有赡养义务吗？

《婚姻法》第三十七条规定：“离婚后，一方抚养的子女，另一方应负担必要的生活费和教育费的一部或全部。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成时，由人民法院判决。关于子女生活费和教育费的协议或判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或判决原定数额的合理要求。”父母有抚养教育子女的义务，但所支付的教育费应在必要的范围内。未直接抚养子女一方对子女教育费的承担以必要为限，上收费较高的私立学校、重点高中所支付的择校费用，或者是因考分不够而产生的择校费，以及为子女报读昂贵课外辅导班或购买昂贵学习用具等所产生的费用，都不在必要的教育费之列。超出必要限度的教育费只能由支出方自行“买单’，除非未直接抚养子女一方自愿承担。故甲某的母亲在未取得甲某父亲同意的情况下，选择较好的学校让甲某就读，并支付高额择校费，应由甲某的母亲自行承担。