高中数学《等比数列前n项和》 一、考题回顾 题目来源：5月19日 上午 重庆市 面试考题 试讲题目 1.题目：等比数列前n项和 2.内容：3.基本要求： (1)引导学生应用等比数列前n项和; (2)试讲10分钟; (3)合理设计板书; (4)要有适当的提问互动环节。 答辩题目 1.等差数列的前n项和公式是什么? 2.怎样才能设计好授课板书呢?你能给出几点建议吗?

q=2，n=6

1.
本节课的难点是等比数列前n项和的推导过程。学生在上节课的学习，已经掌握了具体等比数列采用错位相减法的求和，本节课是在此基础上，将之前学过的等比数列求和方法推广到一般等比数列求和，难点在于带着字母进行推导，并且错位相减法是数列求和中计算量最大、最容易计算出错的地方。在教学过程中，让学生结合之前的学习，先自主探索推导，然后师生共同板演推出。学生通过两次计算，能够突破难点。
2.公式法，分组求和法，错位相减法，裂项相消法。

(1)教材中用一个古老但又具体的故事，为了让学生了解学习“等比数列求前n项和”在解决生活中问题的必要性，用一个有趣的问题激发学生的好奇心和求知欲。(2)教学重点：掌握等比数列前n项和公式，及利用公式解决问题；
教学难点：数列前n项和公式的推导。
(3)在等比数列前n项和公式推导过程中用的方法是“错位相减法”。错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。比如，在教材中，等比数列前n项和公式推导过程中，表示出等比



(4)教学片段：



生：q=1时，公式里的分母等于零了，没有意义了。
师：没错，只有在q≠1时上述公式才成立。那么如果一个等比数列，公比q=1，那它的前n项和怎么求呢?
生：如果公比q=1，则这个等比数列就是常数列，每一项都相等……
师：所以，当q=1时，前n项和等于……
生：na1
师：很好。所以大家在理解和记忆等比数列前n项和的时候，就要明确它是由两部分组成的，一部分是……
生：q≠1时。
师：另一部分是……
生：q=1时。
师：很好。大家在以后做题时遇到等比数列求和问题就要想想，公比q的取值。

(1)①创设情境，提出问题
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢
问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗
(设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。)
师生互动：引导学生写出麦粒总数l+2+22+23+……+263。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时对他们的这种思路给予肯定。
(设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的无用功。急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑颀理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢 在这个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形虞过程的氛围．突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决目囊的新方法，为后面的教学埋下伏笔。)
②师生互动，探究问题
在肯定他们的思路后，接着问：1+2+22+23+……+263是什么数列 有何特征 应归结为什么数学问题呢
学情预设：探讨1：设S64=1+2+22+23+……+263记(1)式，注意观察每一项的特征，有何联系 (学生会发现，后一项都是前一项的2倍)
探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，(1)式两边同乘以2则有2S64=2+22+23+.....263+264，记为(2)式。比较(1)(2)两式，你有什么发现
(设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减’．在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章．从面抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。)
经过比较、研究，学生发现：(1)、(2)两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了。得到：S64=264-1.老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程。
反思：为什么(1)式两边要同乘以2呢
(设计意图：经过繁难的计算之后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简单了!让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。)
③故事结束，首尾呼应
最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1．84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽l0米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺。
(设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维。)④教学反思对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。
(2)引导学生将结论一般化，设等比数列{an}，首项为a1，公比为q，如何求前项和Sn 这里，让学生自主完成．并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。
(设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。)

再次追问：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1，如何把Sn用a1、an、q表示出来 (引导学生得出公式的另一形式)
(设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。)

设首项为a1，则第n项为a1×2 n-1，前n-1项和为两式相减得到a1 =3，因此数列前四项之和为3×（24-1）=45.

解:(Ⅰ)设(an)的公比为q，由已知得

1.
存在，例如：1，1，1，1，……1。
非零常数列均是既为等差数列，又为等比数列。
2.

本题主要考查对《高中数学新课程标准》的理解。

高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。
高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。
高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。