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设n阶方阵A的秩r（A) = r ＜ n，则在A的n个行向量中____。A．必有r个行向量线性无关B．任意r个行向量线性无关C．任意r个行向量构成极大线性无关组D．必有一个行向量为零向量
题目
设n阶方阵A的秩r（A) = r ＜ n，则在A的n个行向量中____。
A．必有r个行向量线性无关
B．任意r个行向量线性无关
C．任意r个行向量构成极大线性无关组
D．必有一个行向量为零向量
相似考题
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第1题：
设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r1，矩阵B=AC的秩为r，则
答案：C解析： -
第2题：
下列结论中正确的是（ ）。A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
B、 秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C、 若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D、 秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式答案：C解析：A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵
中存在等于0的1阶子式。 -
第3题：
设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=O.证明：r(A)+r(B)≤n,答案：解析：
-
第4题：
设A,B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(XY)表示分块矩阵，则
A.Ar(A AB)=r(A)
B.r(A BA)=r(A)
C.r(A B)=max{r(A),r(B)}
D.r(A B)=r(A^T B^T).答案：A解析：
-
第5题：
设n阶方阵M的秩r(M)=rA.任意一个行向量均可由其他r个行向量线性表示
B.任意r个行向量均可组成极大线性无关组
C.任意r个行向量均线性无关
D.必有r个行向量线性无关答案：D解析：第6题：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（ ）.《》（ ）A.r（A）=m，r（B）=m
B.r（A）=m，r（B）=n
C.r（A）=n，r（B）=m
D.r（A）=n，r（B）=n答案：A解析：设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m.由AB=E有r（AB）=r（E）=m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）=m，r（B）=m.第7题：
问答题已知A＝（aij），B＝（bij）为两个n阶方阵。 X为n阶方阵。证明：AX＝B有解的充要条件是n＋1个矩阵A，A1，A2，…，An的秩相等。正确答案：
(1)必要性
设AX=B有解,令X1,X2,…,Xn是X的列向量,B1,B2,…,Bn是B的列向量。由AX=B有解知方程组AXk=Bk(k=1,2,…,n)有解,于是有r(A)=r(A┆Bk)=r(Ak)(k=1,2,…,n),即A,A1,A2,…,An的秩相等。
(2)充分性
若A,A1,A2,…,An的秩都相等,则方程组AXk=Bk有解。记其解为Ci(i=1,2,…,n),则AC=B(其中C是以Ci为列向量的矩阵),即C为AX=B的解,故AX=B有解。解析： 暂无解析第8题：
单选题设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（ ）。Ar＞r1
Br＜r1
Cr＝r1
Dr与r1的关系依C而定
正确答案： A解析：
由r1＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
且A＝BC－1，故r＝r（BC－1）≤min[r（B），r（C－1）]＝r（B）＝r1，所以有r＝r1。第9题：
单选题设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（ ）。A0
B1
Cn－1
Dn
正确答案： C解析：
由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。第10题：
单选题A是n阶方阵，其秩r＜n，则在A的n个行向量中（ ）.A必有r个行向量线性无关
B任意r个行向量线性无关
C任意r个行向量都构成极大线性无关向量组
D任意一个行向量都可由其他任意r个行向量线性表出
正确答案： B解析：
因矩阵A的秩等于A的行向量组的秩，所以其行向量组的秩也为r，而向量组线性无关的充要条件是它所含向量个数等于它的秩，因此A中必有r个行向量线性无关．第11题：
单选题设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（ ）。Ar＞r1
Br＜rl
Cr＝rl
Dr与r1的关系依C而定
正确答案： A解析：
由r1＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
且A＝BC－1，故r＝r（BC－1）≤min[r（B），r（C－1）]＝r（B）＝r1，所以有r＝r1。第12题：
填空题设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝____。正确答案： n解析：
由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。第13题：
设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（ ）
A.r(A)=r(B)=m
B.r(A)=m r(B)=n
C.r(A)=n r(B)=m
D.r(A)=r(B)=n答案：A解析：
第14题：
设A,B为n阶矩阵,且r(A)+r(B)答案：解析：
第15题：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则
A.A秩r(A)=m，秩r(B)=m
B.秩r(A)=m，秩r(B)=n
C.秩r(A)=n，秩r(B)=m
D.秩r(A)=n，秩r(B)=n答案：A解析：本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A)第16题：
设A为n阶方阵，rank(A)=3A.任意3个行向量都是极大线性无关组
B.至少有3个非零行向量
C.必有4个行向量线性无关
D.每个行向量可由其余n- 1个行向量线性表示答案：B解析：第17题：
设A是m×n矩阵，秩（A）=r＜min（m，n），则A中必（ ）A.至少有-r阶子式不为零，没有不等于0的r+1阶子式
B.有等于0的r阶子式，所有r+l阶子式全为0
C.有等于0的r阶子式，没有不等于0的r+1阶子式
D.有等于0的r-1阶子式，有不等于0的r阶子式答案：A解析：由矩阵A的秩（A）=r＜min（m，n），知所有r+1阶子式全为0，r阶子式至少有一个不为0.第18题：
单选题设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（ ）。An－1
Bn
Cn＋1
Dn＋2
正确答案： A解析：
由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。第19题：
单选题设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB＝E，则（ ）。Ar（A）＝m，r（B）＝m
Br（A）＝m，r（B）＝n
Cr（A）＝n，r（B）＝m
Dr（A）＝n，r（B）＝n
正确答案： C解析：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m。
由AB＝E有r（AB）＝r（E）＝m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）＝m，r（B）＝m。第20题：
单选题当n阶矩阵A的秩r（A）＜n时，|A|＝（ ）。A0
B1
C2
D4
正确答案： D解析：
由r（A）＜n，知矩阵A不可逆，故|A|＝0。第21题：
单选题当n阶矩阵A的秩r（A）＜n时，|A|＝（ ）。An－1
Bn
C1
D0
正确答案： C解析：
由r（A）＜n，知矩阵A不可逆，故|A|＝0。第22题：
单选题当n阶矩阵A的秩r（A）＜n时，|A|＝（ ）。A0
B1
Cn－1
Dn
正确答案： A解析：
由r（A）＜n，知矩阵A不可逆，故|A|＝0。第23题：
填空题当n阶矩阵A的秩r（A）＜n时，|A|＝____。正确答案： 0解析：
由r（A）＜n，知矩阵A不可逆，故|A|＝0。第24题：
单选题下列结论中正确的是（ ）A矩阵A的行秩与列秩可以不等
B秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式
正确答案： D解析：