己知系统的开环传递函数G(s)=K／s(s＋2)(s＋3)(s＋1),计算根轨迹与虚轴的交点 ()。A.-1B.-2jC.jD.-j

A

单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)，则闭环传递函数为 。

首先确定在s右半平面的个数P=0，如果用全频补线，则Z=N+P；如果用正频补线，则Z=P+2N'。其中，Z为闭环极点在s右半平面的个数。系统若稳定，则Z=0，故 ∠-90°-arctanT 1 ω-arctanT 2 ω G(j0)=∞∠-90°，G(j∞)=0∠-270° 曲线如下图所示(实线部分)。 (-1，j0)点可能在A、B、C三个位置，补线如图中虚线所示。 全频补线讨论如下。 ①(-1，j0)在A位置时，P=0，N=2，Z=2，不稳定。 ②(-1，j0)在B位置时，G(jω)曲线过(-1，j0)点，临界稳定。 ③(-1，j0)在C位置时，P=0，N=0，Z=0，稳定。 正频补线讨论如下。 ①(-1，j0)在A位置时，N - =1，N + =0，N'=N - -N + =1，Z=2，不稳定。 ②(-1，j0)在B位置时，G(jω)曲线过(-1，j0)点，临界稳定。 ③(-1，j0)在C位置时，N - =0，N + =0，N'=N - -N + =0，Z=0，稳定。 求过负实轴的点坐标(这里只用一种做法)。 令 ∠G(jω)=-90°-arctanT 1ω -arctanT 2 ω=-180° arctanT 1 ω+arctanT 2 ω=90° 两端取正切得 所以1-T 1 T 2 ω 2 =0， 可求得模值为 故过负实轴的点坐标为 。 (2)(-1，j0)在C位置时稳定，此时 (1)K和T 1 ，T 2 不符合上述关系，所以系统不稳定。[提示] 在此题中要计算过负实轴的坐标，可以使用两种方法，比较哪种方法简单。此题先计算问题(2)，问题(1)结论可得。

左偏