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设A，B为n阶矩阵，考虑以下命题：①若A，B为等价矩阵，则A，B的行向量组等价②若行列式.，则A，B为等价矩阵③若与都只有零解，则A，B为等价矩阵④若A，B为相似矩阵，则与的解空间的维数相同以上命题中正确的是（ ）. A.①③ B.②④ C.②③ D.③④
题目
设A，B为n阶矩阵，考虑以下命题：①若A，B为等价矩阵，则A，B的行向量组等价②若行列式.
，则A，B为等价矩阵③若
与
都只有零解，则A，B为等价矩阵④若A，B为相似矩阵，则
与
的解空间的维数相同以上命题中正确的是（ ）.
，则A，B为等价矩阵③若与都只有零解，则A，B为等价矩阵④若A，B为相似矩阵，则与的解空间的维数相同以上命题中正确的是（ ）.
A.①③
B.②④
C.②③
D.③④
B.②④
C.②③
D.③④
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第1题：
设A是m×n阶矩阵,则下列命题正确的是().A.若m
C.若r(A)=n,则方程组AX=b一定有唯一解
D.若r(A)=m,则方程组AX=b一定有解答案：D解析：因为若r(A)=m（即A为行满秩矩阵），则r(
)=m，于是r(A)=r(
)，即方程组AX=b一定有解，选(D).
-
第2题：
设A是m×n阶矩阵,下列命题正确的是().A.若方程组AX=0只有零解,则方程组AX=b有唯一解
B.若方程组AX=0有非零解,则方程组AX=b有无穷多个解
C.若方程组AX=b无解,则方程组AX=0一定有非零解
D.若方程组AX=b有无穷多个解,则方程组AX=0一定有非零解答案：D解析：
-
第3题：
设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均m×n矩阵，现有4个命题：
①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；
②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；
③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；
④若秩(A)=秩(B)则Ax=0与Bx=0同解；
以上命题中正确的是A.①②.
B.①③.
C.②④.
D.③④，答案：B解析：显然命题④错误，因此排除(C)、(D).对于(A)与(B)其中必有一个正确，因此命题①必正确，那么②与③哪一个命题正确呢？由命题①，“若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)”正确，知“若Bx=0的解均是Ax=0的解，则秩(B)≥秩(A)”正确，可见“若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)”正确.即命题③正确，故应选(B). -
第4题：
设a为N阶可逆矩阵，则（ ）.
A.若AB=CB，则a=C
B.
C.A总可以经过初等变换化为单位矩阵E
D.以上都不对答案：C解析： -
第5题：
设n阶矩阵A与B等价, 则必须
答案：D解析：
-
第6题：
设矩阵
与
等价，则a＝答案：解析：
-
第7题：
设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则
A.A矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价答案：B解析：对矩阵A，C分别按列分块，记A=(α1，α2，…，αn)，C=(γ，γ，…，γ). 由AB=C有
可见
即C的列向量组可以由A的列向量组线性表出.
因为B可逆，有CB^-1=A.类似地，A的列向量组也可由C的列向量组线性表出，因此选(B). -
第8题：
设有齐次线性方程组Ax=0及Bx=0，其中A、B均为m×n矩阵，现有以下4个命题 ①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则rA≥rB； ②若rA≥rB，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③若Ax=0与Bx=0同解，则rA=rB； ④若rA=rB，则Ax=0与Bx=0同解。 以上命题中正确的是（）。
- A、①②
- B、①③
- C、②④
- D、③④
正确答案:B -
第9题：
单选题设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB＝E，则（ ）。Ar（A）＝m，r（B）＝m
Br（A）＝m，r（B）＝n
Cr（A）＝n，r（B）＝m
Dr（A）＝n，r（B）＝n
正确答案： C解析：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m。
由AB＝E有r（AB）＝r（E）＝m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）＝m，r（B）＝m。 -
第10题：
单选题设有齐次线性方程组Ax=0及Bx=0，其中A、B均为m×n矩阵，现有以下4个命题 ①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则rA≥rB； ②若rA≥rB，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③若Ax=0与Bx=0同解，则rA=rB； ④若rA=rB，则Ax=0与Bx=0同解。 以上命题中正确的是（）。A①②
B①③
C②④
D③④
正确答案： B解析： 因为①中条件保证了n-r（A）≤n-r（B），所以r（A）≥r（B），而进一步易知③正确，而②、④均不能成立。 -
第11题：
单选题下列结论中正确的是（ ）A矩阵A的行秩与列秩可以不等
B秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式
正确答案： D解析： -
第12题：
设a为N阶可逆矩阵，则（ ）.
A.若AB=CB，则a=C：
B.
C.A总可以经过初等变换化为单位矩阵E：
D.以上都不对.答案：C解析： -
第13题：
设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C=
A.E
B.-E
C.A
D.-A答案：A解析：
-
第14题：
设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ）
A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
D.矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
答案：B解析：
-
第15题：
设A为n阶矩阵,A^2=A,则下列结论成立的是().A.A=O
B.A=E
C.若A不可逆,则A=O
D.若A可逆,则A=E答案：D解析：因为A^2=A，所以A(E-A)=O，由矩阵秩的性质得，r(A)+r(E—A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，选(D). -
第16题：
下列结论中正确的是（ ）。A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
B、 秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C、 若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D、 秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式答案：C解析：A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵
中存在等于0的1阶子式。 -
第17题：
设B≠O为三阶矩阵,且矩阵B的每个列向量为方程组
的解,则k=_______,｜B｜=_______.答案：1、0解析：令
，因为B的列向量为方程组的解且B≠0，所以AB=0且方程组有非零解，故|A|=0，解得k=1.因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1，于是r(B)≤2小于3，故|B|=0. -
第18题：
设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P使得P-1AP=B，则称矩阵A与矩阵B（）。
- A、等价
- B、相似
- C、合同
- D、正交
正确答案:B -
第19题：
若一个n阶矩阵A中的元素满足：Aij=Aji（0<=I，j<=n-1）则称A为（）矩阵；若主对角线上方（或下方）的所有元素均为零时，称该矩阵为（）。
正确答案:上；三角矩阵 -
第20题：
单选题设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P使得P-1AP=B，则称矩阵A与矩阵B（）。A等价
B相似
C合同
D正交
正确答案： B解析： 由相似矩阵的定义知B正确。故选B。 -
第21题：
单选题若A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，则（ ）。A当m＞n时，ABX＝0必有非零解
B当m＞n时，AB必可逆
C当n＞m时，ABX＝0只有零解
D当n＞m时，必有r（AB）＜m
正确答案： A解析：
r（AB）≤r（A）≤n＜m，AB是m阶方阵，由于系数矩阵的秩小于未知数的个数，故ABX＝0有非零解。