设f（x）和g（x）在（-∞，+∞）内可导，且f（x）＜g（x），则必有（）《》（）

题目

相似考题

1.设f(x)=3x,g(x)=x2，则函数g[f(x)]-f[g(x)]=_______________.

2.设f(0)=g(0),且当x30时,f'(x)>g'(x),则当x>0时有()。A.f(x)B.f(x)>g(x)C.f(x)=g(x)D.以上都不对

3.设函数f（x）在x=a的某个邻域内连续，且f（a）为极大值，则存在δ＞0，当x∈（a-δ，a+δ）时，必有（）

4.设f (x)=x2,g(x)=ex,则f [g(x)]=_________.

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第1题：

设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导（a＜b），且恒正，若f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，则当x∈（a，b）时，下列不等式中成立的是（　　）。

A． [f（x）/g（x）]＞[f（a）/g（b）]
B． [f（x）/g（x）]＞[f（b）/g（b）]
C． f（x）g（x）＞f（a）g（a）
D． f（x）g（x）＞f（b）g（b）

答案：C
解析：
因为[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，所以函数f（x）g（x）在[a，b]上单调递增。所以，当x∈（a，b）时，f（a）g（a）＜f（x）g（x）＜f（b）g（b）。
第2题：

设函数f（x）在点x=a处可导，则函数｜f（x）｜在点x=a处不可导的充分条件是（）

A.f（a）=0且f′（a）=0
B.f（a）=0且f′（a）≠0
C.f（a）＞0且f′（a）＞
D.f（a）＜0且f′（a）＜

答案：B
解析：
第3题：

设函数z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1.求

答案：
解析：

所以，令x=y=1，且注意到g(1)=1，g'(1)=0，得
第4题：

设函数f(x)与g(x)均在(a，b)可导，且满足f'(x)
A.必有f(x)>g(x)
B.必有f(x)C.必有f(x)=g(x)
D.不能确定大小

答案：D
解析：
由f'(x)
第5题：

设函数f（x），g（x）是大于零的可导函数，且f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时有（）《》（）

A.f（x）g（b）＞f（b）g（x）
B.f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C.f（x）g（x）＞f（b）g（b）
D.f（x）g（x）＞f（a）g（a）

答案：A
解析：
第6题：

下列命题中，正确的是（）．
- A、若在区间（a，B.内有f（x）>g（x），则f’（x）>g’（x），x∈（a，B.
- B、若在区间（a，B.内有f’（x）>g’（x），则f（x）>g（x），x∈（a，B.
- C、C.若f’（x）在（a，内单调，则f（x）在（a，B.内也单调
- D、D.若在区间（a，B.内有f’（x）>g’（x），且f=gA.，则f（x）>g（x），x∈（a，B.
正确答案:D
第7题：

单选题
奇函数f（x）在闭区间[－1，1]上可导，且|f′（x）|≤M（M为正常数），则必有（　　）。
A
｜f（x）｜≥M
B
｜f（x）｜＞M
C
｜f（x）｜≤M
D
｜f（x）｜＜M

正确答案： D
解析：
因为f（x）为奇函数，故f（0）＝0。f（x）在[－1，1]上可导，由拉格朗日中值定理知|f（x）|＝|f（x）－f（0）|＝|f′（ξ）|·|x－0|≤M·1。故对∀x∈[－1，1]，|f（x）|≤M。故应选（C）。
第8题：

填空题
设函数f（x）在x＝2的某邻域内可导，且f′（x）＝ef（x），f（2）＝1，则f‴（2）＝____。

正确答案： 2e³
解析：
因f′（x）＝e^f^（^x^）方程两边对x求导，得f″（x）＝e^f^（^x^）·f′（x）＝e^f^（^x^）·e^f^（^x^）＝e^2f^（^x^），两边再对x求导，得f‴（x）＝e^2f^（^x^）·2f′（x）＝2e^2f^（^x^）·e^f^（^x^）＝2e^3f^（^x^）。又f（2）＝1，则f‴（2）＝2e^3f^（²^）＝2e³。
第9题：

单选题
如果f（x）在x0可导，g（x）在x0不可导，则f（x）g（x）在x0（　　）。[2011年真题]
A
可能可导也可能不可导
B
不可导
C
可导
D
连续

正确答案： B
解析：
举例说明，令g（x）＝1/x，g（x）在x₀＝0处导数不存在，即不可导。令f（x）＝x，此时f（x）·g（x）＝1在x₀＝0处可导。令g（x）＝1/x，f（x）＝1，此时f（x）g（x）＝1/x在x₀＝0处不可导。
第10题：

单选题
设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导（a＜b），且恒正，若f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，则当x∈（a，b）时，下列不等式中成立的是（　　）。[2018年真题]
A
f（x）/g（x）＞f（a）/g（b）
B
f（x）/g（x）＞f（b）/g（b）
C
f（x）g（x）＞f（a）g（a）
D
f（x）g（x）＞f（b）g（b）

正确答案： C
解析：
因为[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，所以函数f（x）g（x）在[a，b]上单调递增。所以，当x∈（a，b）时，f（a）g（a）＜f（x）g（x）＜f（b）g（b）。
第11题：

问答题
设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且对于（a，b）内一切x有f′（x）g（x）－f（x）g′（x）≠0。证明：如果f（x）在（a，b）内有两个零点，则介于两个零点之间，g（x）至少有一个零点。

正确答案：
构造函数φ(x)=f(x)/g(x),并设x₁、x₂∈(a,b)是f(x)的两个零点,且x₁2。由f′(x)g(x)≠f(x)g′(x)可知,x₁、x₂不是g(x)的零点。
假设g(x)在(x₁,x₂)内没有零点,则函数φ(x)在[x₁,x₂]上可导,且φ(x₁)=φ(x₂)=0。
根据罗尔定理得,必∃ξ∈(x₁,x₂),使得
φ′(ξ)=[f′(ξ)g(ξ)-f(ξ)g′(ξ)]/g²(ξ)=0,即f′(ξ)g(ξ)-f(ξ)g′(ξ)=0与已知条件矛盾,故g(x)在(x₁,x₂)内至少有一个零点。
解析：暂无解析
第12题：

单选题
下列命题中，正确的是（）．
A
若在区间（a，B.内有f（x）>g（x），则f’（x）>g’（x），x∈（a，B.
B
若在区间（a，B.内有f’（x）>g’（x），则f（x）>g（x），x∈（a，B.
C
C.若f’（x）在（a，内单调，则f（x）在（a，B.内也单调
D
D.若在区间（a，B.内有f’（x）>g’（x），且f=gA.，则f（x）>g（x），x∈（a，B.

正确答案： D
解析：暂无解析
第13题：

设函数f(x)在x=a的某个邻域内连续，且f(a)为其极大值，则存在δ＞0，当x∈(a-δ，a+δ)时，必有( )。

A.(x-a)[f(x)-f(a)]≥0
B.(x-a)[f(x)-f(a)]≤0
C.
D.

答案：C
解析：
第14题：

设函数f（x）在（a，b）内可微，且f′（x）≠0，则f（x）在（a，b）内（　　）。

A、必有极大值
B、必有极小值
C、必无极值
D、不能确定有还是没有极值

答案：C
解析：
可导函数极值判断：若函数f（x）在（a，c）上的导数大于零，在（c，b）上的导数小于零，则f（x）在c点处取得极大值；若函数f（x）在（a，c）上的导数小于零，在（c，b）上的导数大于零，则f（x）在c点处取得极小值。即可导函数极值点处，f′（x）=0。函数f（x）在（a，b）内可微，则函数在（a，b）内可导且连续；又f′（x）≠0，则在（a，b）内必有f′（x）>0或f′（x）＜0，即函数f（x）在（a，b）内单调递增或单调递减，必无极值。
第15题：

设g(x)在(-∞,+∞)严格单调递减，且f(x)在x=x0处有极大值，则必有（）。
A. g[f(x)]在x= x0处有极大值 B.g[f(x)]在x=x0处有极小值C.g[f(x)]在x=x0处有最小值 D. g[f(x)]在x=x0处既无极值也无最小值

答案：B
解析：
提示：由于f(x)在x= x0处有极大值，所以f(x)在x= x0左侧附近单调递增，右侧附近单调递减，g(f(x))在x= x0左侧附近单调递减，右侧附近单调递增。
第16题：

奇函数f（x）在闭区间[-1，1]上可导，且f′（x）≤M（M为正常数），则必有（）《》（）

A.f（x）≥M
B.f（x）＞M
C.f（x）≤M
D.f（x）＜M

答案：C
解析：
第17题：

若f（x）|g（x）h（x）且（f（x），g（x））=1则（）。
- A、g（x）
- B、h（x）
- C、f（x）
- D、f（x）
正确答案:D
第18题：

设g（x）在（-∞，+∞）严格单调递减，且f（x）在x=x0处有极大值，则必有（）。
- A、g［f（x）］在x=x0处有极大值
- B、g［f（x）］在x=x0处有极小值
- C、g［f（x）］在x=x0处有最小值
- D、g［f（x）］在x=x0既无极值也无最小值
正确答案:B
第19题：

单选题
设f（x）g（x）在x0处可导，且f（x0）＝g（x0）＝0，f′（x0）g′（x0）＞0，f″（x0）、g″（x0）存在，则（　　）
A
x₀不是f（x）g（x）的驻点
B
x₀是f（x）g（x）的驻点，但不是它的极值点
C
x₀是f（x）g（x）的驻点，且是它的极小值点
D
x₀是f（x）g（x）的驻点，且是它的极大值点

正确答案： B
解析：
构造函数φ（x）＝f（x）·g（x），则φ′（x）＝f′（x）·g（x）＋f（x）g′（x），φ″（x）＝f″（x）g（x）＋2f′（x）g′（x）＋f（x）g″（x）。
又f（x₀）＝g（x₀）＝0，故φ′（x₀）＝0，x₀是φ（x）的驻点。
又因φ″（x₀）＝2f′（x₀）g′（x₀）＞0，故φ（x）在x₀取到极小值。
第20题：

单选题
（2011）如果f（x）在x0可导，g（x）在x0不可导，则f（x）g（x）在x0：（）
A
可能可导也可能不可导
B
不可导
C
可导
D
连续

正确答案： C
解析：暂无解析
第21题：

问答题
设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，且存在相等的最大值。若f（a）＝g（a），f（b）＝g（b），证明：　　（1）存在η∈（a，b）使f（η）＝g（η）；　　（2）存在ξ∈（a，b）使f″（ξ）＝g″（ξ）。

正确答案：
(1)构造函数h(x)=f(x)-g(x),由f(a)=g(a),f(b)=g(b)可知,h(a)=h(b)=0。可设f(x),g(x)在(a,b)内的最大值M,分别在α∈(a,b),β∈(a,b)处取得。
当α=β时,令η=α,则h(η)=0;
当α≠β时,h(α)=f(α)-g(α)=M-g(α)≥0,h(β)=f(β)-g(β)=f(β)-M≤0。由介值定理可知,存在介于α和β之间的点η使得h(η)=0。综上所述,∃η∈(a,b),使得h(η)=0。
(2)根据罗尔定理可知,∃ξ₁∈(a,η),∃ξ₂∈(η,b),使得h′(ξ₁)=h′(ξ₂)=0。再由罗尔定理可知,∃ξ∈(ξ₁,ξ₂)⊂(a,b),使得h″(ξ)=0,即f″(ξ)=g″(ξ)。
解析：暂无解析
第22题：

单选题
设函数f（x）在区间[1，＋∞）内二阶可导，且满足条件f（1）＝f′（1）＝0，x＞1时f″（x）＜0，则g（x）＝f（x）/x在（1，＋∞）内（　　）。
A
曲线是向上凹的
B
曲线是向上凸的
C
单调减少
D
单调增加

正确答案： C
解析：
判断函数的单调性及凹凸性，需求出其导函数和二阶导数，并判断其正负号。g′（x）＝[xf′（x）－f（x）]/x²，构造函数F（x）＝xf′（x）－f（x），F′（x）＝xf″（x）＜0（题中已给出f″（x）＜0），故F（x）单调减少。则F（x）＜F（1）＝0，故g′（x）＜0，即g（x）在（1，＋∞）内单调减少。
第23题：

问答题
设函数f（x），g（x）二次可导，满足函数方程f（x）g（x）＝1，又f′（x）≠0，g′（x）≠0，则f″（x）/f′（x）－f′（x）/f（x）＝g″（x）/g′（x）－g′（x）/g（x）。

正确答案：
f(x)g(x)=1,则f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=0①
即f′(x)/f(x)=-g′(x)/g(x)②
对①两边求导得f″(x)g(x)+2f′(x)g′(x)+f(x)g″(x)=0,即f″(x)+2f′(x)g′(x)/g(x)+f(x)g″(x)/g(x)=0,即f″(x)/f′(x)+2f′(x)g′(x)/f′(x)g(x)+f(x)g″(x)/f′(x)g(x)=0。
由①得f″(x)/f′(x)+2g′(x)/g(x)-f(x)g″(x)/f(x)g′(x)=0,则f″(x)/f′(x)+2g′(x)/g(x)=g″(x)/g′(x)。
又由②得f″(x)/f′(x)-f′(x)/f(x)=g″(x)/g′(x)-g′(x)/g(x)。
解析：暂无解析

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