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设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维列向量,且与向量β正交.证明：向量β为零向量.
题目
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第1题：
若A是m×n矩阵，且m≠n，则当A的列向量组线性无关时，A的行向量组也线性无关答案：错解析： -
第2题：
设A为n阶矩阵,证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β使得A=αβT.答案：解析：
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第3题：
设x为n维列向量,
,令,
证明H是对称的正交阵.答案：解析：
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第4题：
设A为n×m矩阵,B为m×n矩阵(m>n),且AB=E.证明：B的列向量组线性无关.答案：解析：【证明】首先r(B)≤min{m，n）=n，由AB=E得r(AB)=n，而，.(AB)≤r(B)，所以r(B)≥n，从而r(B)=n，于是B的列向量组线性无关. -
第5题：
设A为n阶方阵，rank(A)=3A.任意3个行向量都是极大线性无关组
B.至少有3个非零行向量
C.必有4个行向量线性无关
D.每个行向量可由其余n- 1个行向量线性表示答案：B解析： -
第6题：
单选题n维向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（ ）。Aα1，α2，…，αs中没有零向量
B向量组的个数不大于维数，即s≤n
Cα1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例
D某向量β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一
正确答案： D解析：
A项，例如α1＝（1，－1，2），α2＝（2，－2，4）都是非零向量，但α1，α2线性相关；
B项，如A项中的例子，α1，α2个数小于维数，但其线性相关；
C项，例如α1＝（1，0，－1），α2＝（0，3，0），α3＝（1，3，－1）中任意两个向量的分量均不成比例，但α1，α2，α3线性相关；
D项，β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一，即α1，α2，…，αs是α1，α2，…，αs，β的线性极大无关组，故α1，α2，…，αs线性无关。 -
第7题：
单选题设A为4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，则（ ）。AA的列向量组线性无关
B方程组AX＝b有无穷多解
C方程组AX＝b的增广矩阵A的任意四个列向量构成的向量组线性无关
DA的任意4个列向量构成的向量组线性无关
正确答案： B解析：
方程组AX＝b的行向量组线性无关，则r（A）＝4，而未知数的个数为5，故方程组中含有一个自由未知数，它有无穷多解。 -
第8题：
单选题设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX(→)＝0(→)仅有零解的充分条件是（ ）。AA的列向量组线性无关
BA的列向量组线性相关
CA的行向量组线性无关
DA的行向量组线性相关
正确答案： C解析：
因为AX＝0仅有零解的充分必要条件是A的秩r（A）＝n，所以A的列向量组线性无关是AX＝0仅有零解的充分条件。 -
第9题：
单选题下列说法不正确的是（ ）。As个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后的向量组仍然线性无关
Bs个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则每个向量增加k维分量后得到的向量组仍然线性无关
Cs个n维向量α1，α2，…，αs线性相关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后得到的向量组仍然线性相关
Ds个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关
正确答案： A解析：
A项，一个线性无关组加入k个线性相关的向量，新的向量组线性相关；
B项，线性无关组的延伸组仍为线性无关组；
C项，线性相关组加入k个向量，无论k个向量是否相关，构成的新的向量组必是线性相关的；
D项，线性无关组中的任意个组合均是无关的。 -
第10题：
单选题n元线性方程组AX(→)＝b(→)有唯一解的充要条件为（ ）。AA为方阵且｜A｜≠0
B导出组AX＝0仅有零解
C秩（A）＝n
D系数矩阵A的列向量组线性无关，且常数向量b与A的列向量组线性相关
正确答案： C解析：
A项，系数矩阵A不一定是方阵；B项，导出组只有零解，方程组AX＝b不一定有解；C项，当r（A）＝n时，不一定有r（A）＝r（A）＝n；D项，b可由A的列向量组线性表示，则方程组AX＝b有唯一解。 -
第11题：
设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是（ ）。A、矩阵A的任意两个列向量线性相关
B、矩阵A的任意两个列向量线性无关
C、矩阵A的任一列向量是其余列向量的线性组合
D、矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合答案：D解析：
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第12题：
设向量组α1,…,αn为两两正交的非零向量组,证明：α1,…,αn线性无关,并举例说明逆命题不成立.答案：解析：
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第13题：
设非零n维列向量α,β正交且A=αβT.证明：A不可以相似对角化.答案：解析：
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第14题：
设矩阵
，α1，α2，α3为线性无关的3维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为_________.答案：1、2.解析：因(Aα1，Aα2，Aα3)=A(α1，α2，α3)，又α，α，α是三维线性无关列向量，所以(α1，α2，α3)为三阶可逆矩阵故r(Aα1，Aα2，Aα3)=r(A)=2. -
第15题：
单选题设n维列向量组α1，α2，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是（ ）.A向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示
B向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示
C向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价
D矩阵A=（α1，…，αm）与矩阵B=（β1，…，βm）β）m
正确答案： C解析：
例如α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），β1=（0，0，1，0），β2=（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关． -
第16题：
单选题设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是（ ）。[2017年真题]A矩阵A的任意两个列向量线性相关
B矩阵A的任意两个列向量线性无关
C矩阵A的任一列向量是其余列向量的线性组合
D矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合
正确答案： D解析：
线性方程组Ax＝0有非零解⇔|A|＝0⇔r（A）＜n，矩阵A的列向量线性相关，所以矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合。 -
第17题：
单选题A是n阶方阵，其秩r＜n，则在A的n个行向量中（ ）.A必有r个行向量线性无关
B任意r个行向量线性无关
C任意r个行向量都构成极大线性无关向量组
D任意一个行向量都可由其他任意r个行向量线性表出
正确答案： B解析：
因矩阵A的秩等于A的行向量组的秩，所以其行向量组的秩也为r，而向量组线性无关的充要条件是它所含向量个数等于它的秩，因此A中必有r个行向量线性无关． -
第18题：
单选题设n阶方阵A＝（α(→)1，α(→)2，…，α(→)n），B＝（β(→)1，β(→)2，…，β(→)n），AB＝（γ(→)1，γ(→)2，…，γ(→)n），记向量组（Ⅰ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)n；（Ⅱ）： β(→)1，β(→)2，…，β(→)n；（Ⅲ）：γ(→)1，γ(→)2，…，γ(→)n。如果向量组（Ⅲ）线性相关，则（ ）。A向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）都线性相关
B向量组（Ⅰ）线性相关
C向量组（Ⅱ）线性相关
D向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关
正确答案： D解析：
由向量组（Ⅲ）线性相关，知矩阵AB不可逆，即|AB|＝|A|·|B|＝0，因此|A|、|B|中至少有一个为0，即A与B中至少有一个不可逆，故向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关。 -
第19题：
单选题n维向量组，α(→)1，α(→)2，…，α(→)s（3≤s≤n）线性无关的充要条件是（ ）。A存在一组不全为0的数k1，k2，…，ks，使kα1＋k2α2＋…＋ksαs≠0
Bα1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关
Cα1，α2，…，αs中存在一个向量不能由其余向量线性表示
Dα1，α2，…，αs中任何一个向量都不能由其余向量线性表示
正确答案： C解析：
向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其余向量表示，若向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，则它们必线性无关；反之亦然。 -
第20题：
单选题设n维列向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m（m＜n）线性无关，则n维列向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m线性无关的充分必要条件是（ ）。A向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示
B向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示
C向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价
D矩阵A＝（α1，α2，…，αm）与矩阵B＝（β1，β2，…，βm）等价
正确答案： D解析：
例如α1＝（1，0，0，0），α2＝（0，1，0，0），β1＝（0，0，1，0），β2＝（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；
D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关。