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4、设f（x), g（x)是数域F上多项式，且f（x), g（x)在F上互素，则f（x), g（x)在复数域上一定互素。

题目

4、设f（x), g（x)是数域F上多项式，且f（x), g（x)在F上互素，则f（x), g（x)在复数域上一定互素。

相似考题

1.若F(x)与G(x)均为f (x)在区间I上的原函数，则F(x)与G(x)相差一个_________.

2.设函数f（x）与g（x）在[0，1]上连续，且f（x）≤g（x），且对任何的c∈（0，1）（ ）

3.设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导（a＜b），且恒正，若f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，则当x∈（a，b）时，下列不等式中成立的是（　　）。A． [f（x）/g（x）]＞[f（a）/g（b）]B． [f（x）/g（x）]＞[f（b）/g（b）]C． f（x）g（x）＞f（a）g（a）D． f（x）g（x）＞f（b）g（b）

4.设f(0)=g(0),且当x30时,f'(x)>g'(x),则当x>0时有()。A.f(x)B.f(x)>g(x)C.f(x)=g(x)D.以上都不对

参考答案和解析
证(i)若f(x)=0或g(x)=0,则f(x)与g(x)有最小公倍式.若f(x)≠0且g(x)≠0,设(f(x),g(x))=d(x),则d(x)≠0且有u(x),v(x),使f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), , 其中 m(x)是f(x),g(x)的公倍式.又若有h(x),使f(x)|h(x),g(x)|h(x),而k(x)=f(x)k(x)=g(x)j(x),则有 所以 进而 即m(x)|h(x)，故m(x)是f(x)，g(x)的最小公倍式. 若m 1 (x)，m 2 (x)都是f(x)，g(x)的最小公倍式，那么 从而(t(x)，s(x))=0，故s(x)，t(x)都是零次多项式． 其中d(x)是最高次项系数为1的多项式，那么由题设，f 1 (x)，g 1 (x)最高次项系数也是1． 由(i)有 故
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  • 第1题：

    设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间［0，1］上



    A.A当f'(x)≥0时，f(x)≥g(x)
    B.当f'(x)≥0时，f(x)≤g(x)
    C.当f"(x)≥0时，f(x)≥g(x)
    D.当f"(x)≥0时，f(x)≤g(x)

    答案：D
    解析：
    由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1-x)+f(1)x过点(0，f(0))和(1，f(1))，当f"(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间［0，1］上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1-x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x)故应选(D).
    (方法二)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x，
    则 F'(x)=f'(x)+f(0)-f(1)，F"(x)=f"(x).当f"(x)≥0时，F"(x)≥0，则曲线y=F(x)在区间［0，1］上是凹的.又F(0)=F(1)=0，从而，当x∈［0，1］时F(x)≤0，即f(x)≤g(x)，故应选(D).
    (方法三)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x，

    则 F(x)=f(x)［(1-x)+x］-f(0)(1-x)-f(1)x

    =(1-x)［f(x)-f(0)］-x［f(1)-f(x)］
    　　 =x(1-x)f'(ξ)-x(1-x)f'(η) (ξ∈(0,x)，η∈(x,1))
    　　 =x(1-x)［f'(ξ)-f'(η)］
    　　当f"(x)≥0时，f'(x)单调增，f'(ξ)≤f'(η)，从而，当x∈［0，1］时F(x)≤0，即f(x)≤g(x)，故应选(D).

  • 第2题：

    设f（x）和g（x）在（-∞，+∞）内可导，且f（x）＜g（x），则必有（ ）《》（ ）


    答案：C
    解析：

  • 第3题：

    在F（x）中，f（x），g（x）是次数≤n的多项式，若在F中有n+1个不同的元素，c1，c2…使得f（ci）=g（ci），则f（x）=g（x）。


    正确答案:正确

  • 第4题：

    互素多项式的性质，若f（x）|h（x），g（x）|h（x），且（f（x），g（x））=1，那么可以推出什么？（）

    • A、f（x）g（x）
    • B、h（x）
    • C、h（x）
    • D、g（x）

    正确答案:A

  • 第5题：

    下列命题中，正确的是（）．

    • A、若在区间（a，B.内有f（x）>g（x），则f’（x）>g’（x），x∈（a，B.
    • B、若在区间（a，B.内有f’（x）>g’（x），则f（x）>g（x），x∈（a，B.
    • C、C.若f’（x）在（a，内单调，则f（x）在（a，B.内也单调
    • D、D.若在区间（a，B.内有f’（x）>g’（x），且f=gA.，则f（x）>g（x），x∈（a，B.

    正确答案:D

  • 第6题：

    设K是个数域，K[x]中的多项式f（x），g（x），若有f=g，则可以得到什么？（）

    • A、f（x）=g（f（x））
    • B、g（x）=f（f（x））
    • C、f（x）=g（x）
    • D、g（x）=f（g（x））

    正确答案:C

  • 第7题：

    在F[x]中，任一对多项式f（x）与g（x）都有最大公因式，且存在u（x），v（x）∈F（x），满足哪个等式？（）

    • A、u（x）f（x）v（x）g（x）=d（x）
    • B、u（x）f（x）+v（x）g（x）=d（x）
    • C、u（x）f（x）/v（x）g（x）=d（x）
    • D、u（x）/f（x）+v（x）/g（x）=d（x）

    正确答案:B

  • 第8题：

    单选题
    设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导（a＜b），且恒正，若f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，则当x∈（a，b）时，下列不等式中成立的是（　　）。[2018年真题]
    A

    f（x）/g（x）＞f（a）/g（b）

    B

    f（x）/g（x）＞f（b）/g（b）

    C

    f（x）g（x）＞f（a）g（a）

    D

    f（x）g（x）＞f（b）g（b）


    正确答案： C
    解析：
    因为[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，所以函数f（x）g（x）在[a，b]上单调递增。所以，当x∈（a，b）时，f（a）g（a）＜f（x）g（x）＜f（b）g（b）。

  • 第9题：

    判断题
    互素多项式的性质，（f（x），h（x））=1，（g（x），h（x））=1，则有（f（x）g（x），h（x））=1成立。
    A

    对

    B

    错


    正确答案： 对
    解析： 暂无解析

  • 第10题：

    问答题
    设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且对于（a，b）内一切x有f′（x）g（x）－f（x）g′（x）≠0。证明：如果f（x）在（a，b）内有两个零点，则介于两个零点之间，g（x）至少有一个零点。

    正确答案：
    构造函数φ(x)=f(x)/g(x),并设x1、x2∈(a,b)是f(x)的两个零点,且x12。由f′(x)g(x)≠f(x)g′(x)可知,x1、x2不是g(x)的零点。
    假设g(x)在(x1,x2)内没有零点,则函数φ(x)在[x1,x2]上可导,且φ(x1)=φ(x2)=0。
    根据罗尔定理得,必∃ξ∈(x1,x2),使得
    φ′(ξ)=[f′(ξ)g(ξ)-f(ξ)g′(ξ)]/g2(ξ)=0,即f′(ξ)g(ξ)-f(ξ)g′(ξ)=0与已知条件矛盾,故g(x)在(x1,x2)内至少有一个零点。
    解析： 暂无解析

  • 第11题：

    判断题
    在数域K中多项式f（x）与g（x）若有f=g，则f（x）=g（x）。
    A

    对

    B

    错


    正确答案： 对
    解析： 暂无解析

  • 第12题：

    单选题
    互素多项式的性质，若f（x）|h（x），g（x）|h（x），且（f（x），g（x））=1，那么可以推出什么？（）
    A

    f（x）g（x）

    B

    h（x）

    C

    h（x）

    D

    g（x）


    正确答案： C
    解析： 暂无解析

  • 第13题：

    设函数f（x），g（x）是大于零的可导函数，且f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时有（ ）《》（ ）

    A.f（x）g（b）＞f（b）g（x）
    B.f（x）g（a）＞f（a）g（x）
    C.f（x）g（x）＞f（b）g（b）
    D.f（x）g（x）＞f（a）g（a）

    答案：A
    解析：

  • 第14题：

    互素多项式的性质，（f（x），h（x））=1，（g（x），h（x））=1，则有（f（x）g（x），h（x））=1成立。


    正确答案:正确

  • 第15题：

    互素多项式的性质，若f（x）|g（x）h（x），且（f（x），g（x））=1，那么可以推出什么？（）

    • A、g（x）
    • B、h（x）
    • C、f（x）g（x）
    • D、f（x）

    正确答案:D

  • 第16题：

    若f（x）与g（x）互素，则f（x）与g（x）的公因式都是零多项式。


    正确答案:错误

  • 第17题：

    F[x]中，f（x）与g（x）互素的充要条件是（f（x），g（x））=1。


    正确答案:正确

  • 第18题：

    在数域K中多项式f（x）与g（x）若有f=g，则f（x）=g（x）。


    正确答案:正确

  • 第19题：

    判断题
    若f（x）与g（x）互素，则f（x）与g（x）的公因式都是零多项式。
    A

    对

    B

    错


    正确答案： 对
    解析： 暂无解析

  • 第20题：

    判断题
    F[x]中，f（x）与g（x）互素的充要条件是（f（x），g（x））=1。
    A

    对

    B

    错


    正确答案： 对
    解析： 暂无解析

  • 第21题：

    单选题
    设K是个数域，K[x]中的多项式f（x），g（x），若有f=g，则可以得到什么？（）
    A

    f（x）=g（f（x））

    B

    g（x）=f（f（x））

    C

    f（x）=g（x）

    D

    g（x）=f（g（x））


    正确答案： C
    解析： 暂无解析

  • 第22题：

    问答题
    设函数f（x），g（x）二次可导，满足函数方程f（x）g（x）＝1，又f′（x）≠0，g′（x）≠0，则f″（x）/f′（x）－f′（x）/f（x）＝g″（x）/g′（x）－g′（x）/g（x）。

    正确答案：
    f(x)g(x)=1,则f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=0①
    即f′(x)/f(x)=-g′(x)/g(x)②
    对①两边求导得f″(x)g(x)+2f′(x)g′(x)+f(x)g″(x)=0,即f″(x)+2f′(x)g′(x)/g(x)+f(x)g″(x)/g(x)=0,即f″(x)/f′(x)+2f′(x)g′(x)/f′(x)g(x)+f(x)g″(x)/f′(x)g(x)=0。
    由①得f″(x)/f′(x)+2g′(x)/g(x)-f(x)g″(x)/f(x)g′(x)=0,则f″(x)/f′(x)+2g′(x)/g(x)=g″(x)/g′(x)。
    又由②得f″(x)/f′(x)-f′(x)/f(x)=g″(x)/g′(x)-g′(x)/g(x)。
    解析： 暂无解析

  • 第23题：

    单选题
    互素多项式的性质，若f（x）|g（x）h（x），且（f（x），g（x））=1，那么可以推出什么？（）
    A

    g（x）

    B

    h（x）

    C

    f（x）g（x）

    D

    f（x）


    正确答案： B
    解析： 暂无解析

  • 第24题：

    单选题
    下列命题中，正确的是（）．
    A

    若在区间（a，B.内有f（x）>g（x），则f’（x）>g’（x），x∈（a，B.

    B

    若在区间（a，B.内有f’（x）>g’（x），则f（x）>g（x），x∈（a，B.

    C

    C.若f’（x）在（a，内单调，则f（x）在（a，B.内也单调

    D

    D.若在区间（a，B.内有f’（x）>g’（x），且f=gA.，则f（x）>g（x），x∈（a，B.


    正确答案： D
    解析： 暂无解析

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