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单选题n维向量组，α1，α2，…，αs（3≤s≤n）线性无关的充要条件是（　　）.A 存在一组不全为0的数k1，k2，…，kis，使kα1+k2α2+…+ksαs≠0B α1，α2，…，αs，中任意两个向量都线性无关C α1，α2，…，αs，中存在一个向量不能由其余向量线性表示D α1，α2，…，αs，中任何一个向量都不能由其余向量线性表示

题目
单选题
n维向量组，α1，α2，…，αs（3≤s≤n）线性无关的充要条件是（　　）.
A

存在一组不全为0的数k1，k2，…，kis，使kα1+k2α2+…+ksαs≠0

B

α1，α2，…，αs，中任意两个向量都线性无关

C

α1，α2，…，αs，中存在一个向量不能由其余向量线性表示

D

α1，α2，…，αs，中任何一个向量都不能由其余向量线性表示

相似考题

1.若a1,a2,……an是一个线性无关的n维向量组,则任何n维向量均可由它们线性表示。()此题为判断题(对，错)。

2.设A为s×n矩阵且A的行向量组线性无关，K为r×s矩阵。证明：B＝KA行无关的充分必要条件是R(K)=r

3.设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维列向量,且与向量β正交.证明：向量β为零向量.

4.设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是（ ）。A.A的列向量组线性无关 B.A的列向量组线性相关 C.A的行向量组线性无关 D.A的行向量组线性相关

参考答案和解析
正确答案： B
解析：
向量组线性相关的冲要条件是其中至少有一个向量可以由其余向量表示，若向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，则它们必线性无关；反之亦然．
更多“n维向量组，α1，α2，…，αs（3≤s≤n）线性无关的充要条件是（　　）.”相关问题

  • 第1题：

    设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。

    A.若向量组I线性无关．则r≤S
    B.若向量组I线性相关，则r>s
    C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
    D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s

    答案：A
    解析：
    由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即

  • 第2题：

    单选题
    设n维列向量组α1，α2，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是（　　）.
    A

    向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示

    B

    向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示

    C

    向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价

    D

    矩阵A=（α1，…，αm）与矩阵B=（β1，…，βm）β）m


    正确答案： C
    解析：
    例如α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），β1=（0，0，1，0），β2=（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关．

  • 第3题：

    单选题
    n维向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（　　）。
    A

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中没有零向量

    B

    向量组的个数不大于维数，即s≤n

    C

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量的分量不成比例

    D

    某向量β(→)可由α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性表示，且表示法唯一


    正确答案： D
    解析：
    A项，例如α(→)1＝（1，－1，2），α(→)2＝（2，－2，4）都是非零向量，但α(→)1，α(→)2线性相关；
    B项，如A项中的例子，α(→)1，α(→)2个数小于维数，但其线性相关；
    C项，例如α(→)1＝（1，0，－1），α(→)2＝（0，3，0），α(→)3＝（1，3，－1）中任意两个向量的分量均不成比例，但α(→)1，α(→)2，α(→)3线性相关；
    D项，β(→)可由α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性表示，且表示法唯一，即α(→)1，α(→)2，…，α(→)s是α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)的线性极大无关组，故α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关。

  • 第4题：

    问答题
    在n维行向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r（r≥2）中，α(→)r≠0，试证：对任意的k1，k2，kr－1，向量组β(→)1＝α(→)1＋k1α(→)r，β(→)2＝α(→)2＋k2α(→)r，…，β(→)r－1＝α(→)r－1＋kr－1α(→)r线性无关的充要条件是α(→)1，α(→)2，…，α(→)r线性无关。

    正确答案：
    (1)必要性
    设l1β(→)1+l2β(→)2+…+lr-1β(→)r-1=0①,即l1(α(→)1+k1α(→)r)+l2(α(→)2+k2α(→)r)+…+lr-1(α(→)r-1+kr-1α(→)r)=0⇒l1α(→)1+l2α(→)2+…+lr-1α(→)r-1+(l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1)α(→)r=0
    记l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1=lr得
    l1α(→)1+l2α(→)2+…+lr-1α(→)r-1+lrα(→)r=0②
    因为β(→)1,β(→)2,…,β(→)r-1线性无关,所以当且仅当l1=l2=…=lr-1=0时①式成立,即②也成立。又因为α(→)r≠0,所以当且仅当l1=l2=…=lr-1=lr=0时②成立,故α(→)1,α(→)2,…,α(→)r线性无关。
    (2)充分性
    设l1β(→)1+l2β(→)2+…+lr-1β(→)r-1=0,即l1α(→)1+l2α(→)2+…+lr-1α(→)r-1+(l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1)α(→)r=0。
    因为α(→)1,α(→)2,…,α(→)r线性无关,所以l1=l2=…=lr-1=(l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1)=0,故β(→)1,β(→)2,…,β(→)r-1线性无关。
    解析： 暂无解析

  • 第5题：

    单选题
    设α1，α2，α3，β是n维向量组，已知α1，α2，β线性相关，α2，α3，β线性无关，则下列结论中正确的是（　　）。[2012年真题]
    A

    β必可用α1，α2线性表示

    B

    α1必可用α2，α3，β线性表示

    C

    α1，α2，α3必线性无关

    D

    α1，α2，α3必线性相关


    正确答案： B
    解析：
    由α1，α2，β线性相关知，α1，α2，α3，β线性相关。再由α2，α3，β线性无关， α1必可用α2，α3，β线性表示。

  • 第6题：

    单选题
    下列说法不正确的是（　　）。
    A

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则加入k个n维向量β(→)1，β(→)2，…，β(→)k后的向量组仍然线性无关

    B

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则每个向量增加k维分量后得到的向量组仍然线性无关

    C

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，则加入k个n维向量β(→)1，β(→)2，…，β(→)k后得到的向量组仍然线性相关

    D

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关


    正确答案： A
    解析：
    A项，一个线性无关组加入k个线性相关的向量，新的向量组线性相关；
    B项，线性无关组的延伸组仍为线性无关组；
    C项，线性相关组加入k个向量，无论k个向量是否相关，构成的新的向量组必是线性相关的；
    D项，线性无关组中的任意个组合均是无关的。

  • 第7题：

    单选题
    n维向量组，α(→)1，α(→)2，…，α(→)s（3≤s≤n）线性无关的充要条件是（　　）。
    A

    存在一组不全为0的数k1，k2，…，ks，使kα(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s≠0(→)

    B

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量都线性无关

    C

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中存在一个向量不能由其余向量线性表示

    D

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任何一个向量都不能由其余向量线性表示


    正确答案： C
    解析：
    向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其余向量表示，若向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，则它们必线性无关；反之亦然。

  • 第8题：

    单选题
    设n维向量组（Ⅰ）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，（Ⅱ）β(→)1，β(→)2，…，β(→)t线性无关，且α(→)i不能由（Ⅱ）线性表示（i＝1，2，…，s），且β(→)j不能由（Ⅰ）线性表示（j＝1，2，…，t），则向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)1，β(→)2，…，β(→)t（　　）。
    A

    一定线性相关

    B

    一定线性无关

    C

    可能线性相关，也可能线性无关

    D

    既不线性相关，也不线性无关


    正确答案： C
    解析：
    设（Ⅰ）：α(→)1＝（1，0，0），α(→)2＝（1，1，0），（Ⅱ）：β(→)1＝（0，0，1），β(→)2＝（0，1，1）。则向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）各自线性无关，但α(→)1，α(→)2，β(→)1，β(→)2线性相关；
    令（Ⅱ）：β(→)1＝（0，0，1），α(→)1，α(→)2，β(→)1也满足条件，但α(→)1，α(→)2，β(→)1线性无关。

  • 第9题：

    单选题
    设n维列向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m（m＜n）线性无关，则n维列向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m线性无关的充分必要条件是（　　）。
    A

    向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m可以由β(→)1，β(→)2，…，β(→)m线性表示

    B

    向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m可以由α(→)1，α(→)2，…，α(→)m线性表示

    C

    向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m与向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m等价

    D

    矩阵A＝（α(→)1，α(→)2，…，α(→)m）与矩阵B＝（β(→)1，β(→)2，…，β(→)m）等价


    正确答案： D
    解析：
    例如α(→)1＝（1，0，0，0），α(→)2＝（0，1，0，0），β(→)1＝（0，0，1，0），β(→)2＝（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；
    D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m线性无关。

  • 第10题：

    设α1，α2，α3，β是n维向量组，已知α1，α2，β线性相关，α2，α3，β线性无关，则下列结论中正确的是（）。

    • A、β必可用α1，α2线性表示
    • B、α1必可用α2，α3，β线性表示
    • C、α1，α2，α3必线性无关
    • D、α1，α2，α3必线性相关

    正确答案:B

  • 第11题：

    单选题
    向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（　　）。
    A

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均不为零向量

    B

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量的分量不成比例

    C

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意一个向量均不能由其余s－1个向量线性表示

    D

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中有一部分向量线性无关


    正确答案： C
    解析：
    A项，均不为零的向量未必线性无关；
    B项，例如α(→)1＝（1，0，0）T，α(→)2＝（0，1，0）T，α(→)3＝（1，1，0）T，则其中任意两个向量的分量均不成比例，但向量组α(→)1，α(→)2，α(→)3线性相关；
    C项，反证法，如果α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，则至少有一个向量可由其余s－1个向量线性表示，与题设矛盾；
    D项，向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中部分向量线性无关时，未必全部向量线性无关。

  • 第12题：

    单选题
    n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充要条件是（　　）。
    A

    存在不全为0的k1，k2，…，ks使klα(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s≠0(→)

    B

    添加向量β(→)后，α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)线性无关

    C

    去掉任一向量α(→)i后，α(→)1，α(→)2，…，α(→)i－1，α(→)i＋1，…，α(→)s线性无关

    D

    α(→)1，α(→)2－α(→)1，α(→)3－α(→)1，…，α(→)s－α(→)1线性无关


    正确答案： C
    解析：
    D项，相当于对α(→)1，α(→)2，…，α(→)s构成的矩阵作初等变换，初等变换不改变向量组的秩和向量组的线性相关性。

  • 第13题：

    单选题
    向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关的充要条件是（　　）。
    A

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均为零向量

    B

    其中有一个部分组线性相关

    C

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意一个向量都能由其余向量线性表示

    D

    其中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合


    正确答案： B
    解析：
    课本结论：α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关当且仅当α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中有一个向量为其他向量的线性组合。

  • 第14题：

    单选题
    设n阶方阵A＝（α(→)1，α(→)2，…，α(→)n），B＝（β(→)1，β(→)2，…，β(→)n），AB＝（γ(→)1，γ(→)2，…，γ(→)n），记向量组（Ⅰ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)n；（Ⅱ）： β(→)1，β(→)2，…，β(→)n；（Ⅲ）：γ(→)1，γ(→)2，…，γ(→)n。如果向量组（Ⅲ）线性相关，则（　　）。
    A

    向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）都线性相关

    B

    向量组（Ⅰ）线性相关

    C

    向量组（Ⅱ）线性相关

    D

    向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关


    正确答案： D
    解析：
    由向量组（Ⅲ）线性相关，知矩阵AB不可逆，即|AB|＝|A|·|B|＝0，因此|A|、|B|中至少有一个为0，即A与B中至少有一个不可逆，故向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关。

  • 第15题：

    问答题
    设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r＞0，证明：　　（1）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组；　　（2）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中每个向量都可由其中某r个向量线性表示，则这r个向量必为α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的一个极大线性无关组。

    正确答案：
    (1)设①:α(→)j1,α(→)j2,…,α(→)jr是α(→)1,α(→)2,…,α(→)s中任意r个线性无关的向量,由于向量组的秩为r,故向量组中任意多于r个向量的向量组必线性相关,所以α(→)j1,α(→)j2,…,α(→)jr,α(→)i(i=1,2,…,s;i≠j1,j2,…,jr)线性相关,从而①为原向量组的极大线性无关组。
    (2)设①:α(→)j1,α(→)j2,…,α(→)jr是α(→)1,α(→)2,…,α(→)s中的r个向量,且原向量组中每个向量都可由①线性表示,则原向量组与向量组①等价。等价向量组有相同的秩,原向量组的秩为r,所以向量组①的秩为r。又向量组①只含r个向量,故向量组①线性无关,因此由(1)的结论有①是原向量组的极大线性无关组。
    解析： 暂无解析

  • 第16题：

    单选题
    设α1，α2，α3，β是n维向量组，已知α1，α2，β线性相关，α2，α3，β线性无关，则下列结论中正确的是（）。
    A

    β必可用α1，α2线性表示

    B

    α1必可用α2，α3，β线性表示

    C

    α1，α2，α3必线性无关

    D

    α1，α2，α3必线性相关


    正确答案： B
    解析： 暂无解析

  • 第17题：

    单选题
    设α(→)1，α(→)2，…，α(→)s和β(→)1，β(→)2，…，β(→)t为两个n维向量组，且秩（α(→)1，α(→)2，…，α(→)s）＝秩（β(→)1，β(→)2，…，β(→)t）＝r，则（　　）。
    A

    此两个向量组等价

    B

    秩（α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)1，β(→)2，…，β(→)t）＝r

    C

    当α(→)1，α(→)2，…，α(→)s可以由β(→)1，β(→)2，…，β(→)t线性表示时，此二向量组等价

    D

    s＝t时，二向量组等价


    正确答案： C
    解析：
    两向量组等价的充要条件是所含向量的个数相等，且能相互线性表示。

  • 第18题：

    单选题
    设α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是（　　）。
    A

    若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，则Aα(→)1，Aα(→)2，…，Aα(→)s线性相关

    B

    若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，则Aα(→)1，Aα(→)2，…，Aα(→)s线性无关

    C

    若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则Aα(→)1，Aα(→)2，…，Aα(→)s线性相关

    D

    若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则Aα(→)1，Aα(→)2，…，Aα(→)s线性无关


    正确答案： A
    解析：
    设有数k1，k2，…，ks，使k1α(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s＝0(→)，则有A（k1α(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s）＝k1Aα(→)1＋k2Aα(→)2＋…＋ksAα(→)s＝0(→)。因α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，故k1，k2，…，ks不全为0，知Aα(→)1，Aα(→)2，…，Aα(→)s线性相关。

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