培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

处于具体运算阶段的学生虽然具有了一定的逻辑推理能力，但运算还离不开具体事物的支持，处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡时期的中学生，思维在一定意义上不需要依赖于具体可感知的事物，并且能够通过假设推理来思考、解答问题。即教师在教学中应加强初中生抽象思维能力的培养。

向量知识具有丰富的数学内涵和物理背景，由物理中力的知识引出向量，体现向量与其他学科的联系，因此选项①正确。向量可以与复数、立体几何等问题联立联系，也是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用，是沟通几何与代数的桥梁。因此③和④正确。向量的学习包含学生理解平面向量的几何意义和代数意义，掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用，用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题，因此②正确。D项正确。

(1)运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。 培养学生运算能力的方法：①在学生的态度上，首先要让学生重视数学运算，让他们意识到数学运算是非常重要的．需要在态度上面有一个非常正确的认识。②要抓住运算能力的主要特征，即运算的正确、灵活、合理和简洁。首先保证运算的正确，然后在反复操练、相互交流的过程中，不仅要形成运算技能，还要引发对“怎样算”“怎样算的好”“为什么这样算”等一系列的思考，这样就在适度训练、逐步熟练的基础上，清楚地意识到实施运算中的算理，使运算从操作的层面提升到思维的层面。③运算能力的形成要遵循适度性、层次性和阶段性的原则。
(2)教学目标
知识与技能目标：理解分数乘整数的意义，掌握分数乘整数的计算方法；能够应用分数乘整数的计算法则，比较熟练地进行计算。
过程与方法目标：通过直观图与例题的学习，采用加法与乘法对照的方式，掌握分数乘整数的意义和计算方法。
情感态度与价值观目标：通过观察比较，探求知识的内在联系，注重培养推理能力、发展思维，进而将数学问题应用到生活中．提升学习数学的兴趣。
(3)教学环节
(一)温故知新，导入新课
1．列式并根据题意说出算式中的两个乘数各表示什么
5个12是多少9个13是多少8个7是多少
提问：通过解决这三道整数乘法的计算题。你发现了什么
(整数乘法是表示几个相同加数的和的简便运算)
2引出课题

引出课题：分数乘整数。
(二)情境创设，探求新知
1．探索分数乘整数的意义

这个问题吗(学生独立思考)
提问：我们知道了分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，那么它们的计算方法有什么联系和区别呢
【设计意图】
呈现生活情景，引导学生观察思考“一共吃了多少个”，使学生迅速进入学习状态。以原有的知识和经验为基础，经历独立思考、自主计算并验证、小组交流等环节，鼓励学生大胆地呈现个性化的方法，兼顾了不同层次的学习状态。
2．分数乘整数的计算方法
(1)不同方法呈现和比较

提问：比较一下，这两种方法计算结果相同吗它们的相同点在哪里(分母都是9)不同之处又是什么
(2)归纳算法
问题：你觉得哪一种方法更简单那么这种方法是怎样计算的呢
引导说出：用分子与整数相乘的积作分子，分母不变。(板书)
(3)先约分再计算的教学
提问：刚才我看到有一位同学是这样计算的。与这里的第二种算法有什么不同呢

预设：一种算法是先计算再约分。另一种是先约分再计算。
提问：比较一下，你认为哪一种方法更简单为什么
小结：“先约分再计算”的方法，使参与计算的数字比原来小，便于计算。但是要注意格式，约得的数与原数上下对齐。
3．探索一个数乘分数的意义
教学例2(课件出示情景图)
(1)提问：根据提供的信息你能提出什么问题该怎样计算说说你的想法。
预设1：求3桶共有多少升就是求3个12 L的和是多少。
预设2：还可以说成求12 L的3倍是多少。
预设3：单位量×数量=总量，所以12×3=36(L)。
(2)提问：我们再来看这个问题，你能列出算式吗(学生思考，自主列式。)

位“1”。
(4)提问：依据单位量×数量=总量，你还能提出类似的问题并解决吗(学生练习，交流。)
归纳小结：在这里，我们依据单位量×数量=总量的关系式可以得出：一个数乘几分之几表示的是求这个数的几分之几是多少。
【设计意图】
从复习旧知导入，依据单位量×数量=总量这一数量关系，分别列出相应的乘法算式，在此基础上，重点让学生说出解决后两个问题列式的依据是什么，再通过尝试练习和交流，不断加深学生的感性认识，最终导出此类分数乘法的意义。比较的环节充分挖掘教材资源，通过对两种不同算式的分析比较，抽象出两个算式的共同点，异中求同，进而深化学生对分数乘法意义的理解。
(三)巩固练习，强化新知

追问：在计算时要注意什么(强化算法，突出能约分的要先约分，再计算。)

【设计意图】
练习的设计密切联系教学的重难点，同时习题的编排体现由易到难的层次性，选取的素材紧密联系学生的生活实际．具有一定的趣味性。
(四)课堂小结，拓展延伸
1．这节课你有什么收获明白了什么说一说分数乘整数的计算方法

【设计意图】
通过回顾总结．强化学生对所学知识的理解。要求学生用含有字母的式子表示计算方法，很好地培养了学生的符号表达能力。

算理；合理简洁。

(1)学生丙正确,学生甲、乙错误。
(2)学生甲有两处错误,一是前两项相乘的符号错误,应是两数相乘同号为正;二是后面一项中的-2×-1,原因是该同学没有掌握两数相乘同号为正,异号为负,还有对整数乘以分数的运算法则没有掌握;学生乙有两处错误,一是分数中,一个数除以另一个数等于乘以这个数的倒数,二是后面一项中的-2×-1,原因是分数除以整数的运算法则理解不清,还有对整数乘以分数的运算法则没有掌握或者是粗心。
(3)运算能力是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理,寻求合理简洁的运算途径解决问题。可见,运算能力的构成并不只是简单应用机械重复已学的法则和公式,还包括学生对所学知识的体验、选择与主动建构。为了有效提高学生有理数的运算能力,应从以下几个方面入手:
第一,加强概念、算理的教学,重视展现知识发生与发展的过程。数学新课程的教学突出“经历感受”,教师应明确自己的角色转换,不要囿于传统教学方式中的“告诉”和“讲解”。
第二,要认真分析学生出错的原因,找准错误的根源,对症施治。学生出错的地方往往带有普遍性,如在加减运算、有理数的乘方中经常发生符号错误,在数与多项式相乘的过程中出现运算错误,对乘方的概念理解错误等等。教师要将学生出现的错误作为良好的教学资源,充分利用课堂的集成效应,在学生注意力的黄金时段内重点讲解学生作业反馈中大面积出现的问题,争取集中处理。
第三,教师要认真地研究学生,树立正确的学生观。七年级的学生都经历了小学非负数的运算,头脑中装着“和不小于任一加数,差不大于被减数。运算不需考虑符号”等等一些计算经验。而在学习有理数的运算过程中,由于引入了负数,出现了新知识与原有知识不相吻合的情况,新知识的图式结构与原有图式相冲突,必须通过顺应来完成。教师的教学必须尊重学生的实际经验,重视学生对知识的理解与实际学习,切不可急于求成。

(一)学生自我训练 1．准确理解和牢固掌握各种运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据；对于概念、性质、公式、法则的理解深刻的程度直接影响方法的选择与运算速度的快慢。
2．掌握运算的通法、通则，灵活运用概念、性质、公式和法则进行运算。编制、收集一些灵活性较大的练习题，从习练中归纳、积累经验，形成熟练技巧，以提高运算的简捷性和迅速性。
3．学习中注意教师及例题的典型示范，明确解题的目标、计算的步骤及其依据。通过典型示范比较顺利地由理解知识，过渡到应用知识，从而形成运算能力。
4．提高运算中的推理能力，数学运算的实质是根据运算定义及性质。从已知数据及算式推导出结果的过程，也是一种推理的过程。
5．注意关于数、式的恒等变形(变换)能力的训练。
6．以题组训练形式培养学生运算过程中思维的深刻性，提高运算能力。
(二)教师积极引导
1．夯实三基，确保运算的准确性。数学的基本概念，基本性质和基本方法是一切数学运算的基础。学生的运算能力不高，往往与三基掌握不好有直接关系。
2．优化算理算法，保证运算的合理性。运算的合理性是运算能力的核心。它是指运算过程要符合算理，每一步都应有所依据。它主要的表现在于如何确定运算的目标，合理地寻找最佳的运算途径。
3．深入观察、思考，培养运算的灵活性。在对常规算法研究的基础上，针对具体问题，深入研究其非常规算法．提高运算的灵活性。
4．追求简便快捷，培养运算的简捷性。运算的简捷性即是表现运算过程简捷迅速。在运算过程中，概念、性质、公式等掌握的熟练程度、灵活程度以及数学思想方法和基本方法的合理使用，在运算的简捷性中都有着重要的作用。
5．让学生养成良好的运算习惯。(1)认真审题的习惯；(2)书写工整，格式规范的习惯；(3)及时验算的习惯；(4)使用草稿纸的习惯。