设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足，求 ①二次型的标准形； ②行列式的值，其中E为单位矩阵

题目

设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足

，求 ①二次型

的标准形； ②行列式

的值，其中E为单位矩阵

相似考题

1.若n阶矩阵A的秩为r,则____。A.A的行列式不等于0B.A的行列式等于0C.r>nD.r不大于n

2.设A为n阶对称矩阵,则A是正定矩阵的充分必要条件是( ).A.二次型xTAx的负惯性指数零B.存在n阶矩阵C,使得A=CTCC.A没有负特征值D.A与单位矩阵合同

3.设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r1，矩阵B=AC的秩为r，则

4.设三阶实对称矩阵的特征值为3,3,0,则A的秩r(A)=()A、2B、3C、4D、5

参考答案和解析

答案：

解析：

更多“设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足，求 ①二次型的标准形； ②行列式的值，其中E为单位矩阵”相关问题

第1题：

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（）

A.r(A)=r(B)=m
B.r(A)=m r(B)=n
C.r(A)=n r(B)=m
D.r(A)=r(B)=n

答案：A
解析：
第2题：

已知矩阵.，且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中E是三阶单位矩阵，求X.

答案：
解析：
【解】化简矩阵方程，有AX(A-B)+BX(B-A)=E，即(A-B)X(A-B)=E.
由于，所以矩阵A-B可逆，且于是.
第3题：

设A是三阶实对称矩阵,r(A)=1,A^2－3A=O,设（1,1,-1）t为A的非零特征值对应的特征向量.(1)求A的特征值；(2)求矩阵A.

答案：
解析：
第4题：

设A是3阶实对称矩阵,满足，并且r(A)=2. (1) 求A的特征值. (2)当实数k满足什么条件时A+kE正定?

答案：
解析：
第5题：

设A=，E为三阶单位矩阵.
　　(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；
　　(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B.

答案：
解析：
【分析】(Ⅰ)是基础题，化为行最简即可.
关于(Ⅱ)中矩阵B，其实就是三个方程组的求解问题.
【解】(Ⅰ)对矩阵A作初等行变换，得
第6题：

设α为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E-αα^T的秩为________.

答案：
解析：
第7题：

已知二次型f(x1，x2，3x)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为，且Q的第3列为.
　　(Ⅰ)求矩阵A；
　　(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵.

答案：
解析：
第8题：

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（）.《》（）

A.r（A）=m，r（B）=m
B.r（A）=m，r（B）=n
C.r（A）=n，r（B）=m
D.r（A）=n，r（B）=n

答案：A
解析：
设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m.由AB=E有r（AB）=r（E）=m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）=m，r（B）=m.
第9题：

单选题
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB＝E，则（　　）。
A
r（A）＝m，r（B）＝m
B
r（A）＝m，r（B）＝n
C
r（A）＝n，r（B）＝m
D
r（A）＝n，r（B）＝n

正确答案： C
解析：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m。
由AB＝E有r（AB）＝r（E）＝m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）＝m，r（B）＝m。
第10题：

问答题
设A为4阶魔术矩阵，分别对A进行如下操作：求矩阵A的逆；求矩阵A的行列式；求矩阵A的秩；求矩阵A的迹；

正确答案： >>A=magic（4）
>>B=inv（A）
>>C=det（A）
>>D=rank（A）
>>E=trace（A）
解析：暂无解析
第11题：

问答题
设A＝[aij]3×3是三阶非零矩阵，而且满足aij＝－Aij（i，j＝1，2，3），其中Aij为行列式|A|中aij的代数余子式，求行列式|A|的值。

正确答案：
由题中条件可知A^*=-A^T,则,A^*,=,-A^T,。由,A^*,=,A,³^-¹=,A,²,,-A^T,=(-1)³,A,,则,A,²=(-1)³,A,=-,A,,故,A,=0或,A,=-1。
因为矩阵A为非零矩阵,可设a₁₁≠0,A的行列式为,A,=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃=-a₁₁²-a₁₂²-a₁₃²≠0,所以,A,=-1。
解析：暂无解析
第12题：

单选题
下列结论中正确的是（）
A
矩阵A的行秩与列秩可以不等
B
秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C
若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D
秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

正确答案： D
解析：
第13题：

下列结论中正确的是（　　）。

A、矩阵A的行秩与列秩可以不等
B、秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C、若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D、秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

答案：C
解析：
A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵

中存在等于0的1阶子式。
第14题：

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，

答案：
解析：
第15题：

设，E为3阶单位矩阵（1）求方程组的一个基础解系；（2）求满足的所有矩阵B

答案：
解析：
第16题：

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则

A.A秩r(A)=m，秩r(B)=m
B.秩r(A)=m，秩r(B)=n
C.秩r(A)=n，秩r(B)=m
D.秩r(A)=n，秩r(B)=n

答案：A
解析：
本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A)
第17题：

设A为四阶实对称矩阵，且A^2+A=O.若A的秩为3，则A相似于

答案：D
解析：
这是一道常见的基础题，由Aα=λα，α≠0知A^nα=λ^nα，那么对于A^2+A=0(λ^2+λ)α=0λ^2+λ=0所以A的特征值只能是0或-1再由A是实对称必有A～A，而A即是A的特征值，那么由r(A)=3，可知(D)正确
第18题：

设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且

　　(Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量；
　　(Ⅱ)求矩阵A.

答案：
解析：
第19题：

设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且. （Ⅰ）求A的特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵A

答案：
解析：
第20题：

设A为4阶魔术矩阵，分别对A进行如下操作：求矩阵A的逆；求矩阵A的行列式；求矩阵A的秩；求矩阵A的迹；

正确答案: >>A=magic（4）
>>B=inv（A）
>>C=det（A）
>>D=rank（A）
>>E=trace（A）
第21题：

问答题
设A是n阶矩阵，且满足Am＝E，其中m为整数，E为n阶单位矩阵。令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为A(～)，证明：（A(～)）m＝E。

正确答案：
因为A^m=E,所以,A^m,=,A,^m=1,,A,=1≠0,即矩阵A可逆。
由题知A(~)=(A^*)^T,其中A^*为A的伴随矩阵。所以有(A(~))^m=[(A^*)^T]^m=[(,A,A^-¹)^T]^m=[(A^-¹)^T]^m=[(A^m)^-¹]^T=E。
解析：暂无解析
第22题：

填空题
设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝____。

正确答案： -(A+E)/2
解析：
由题设A²＝A有，A²－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）^－¹＝－（A＋E）/2。
第23题：

单选题
设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（　　）。
A
r＞r₁
B
r＜r_l
C
r＝r_l
D
r与r₁的关系依C而定

正确答案： A
解析：
由r₁＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
且A＝BC^－¹，故r＝r（BC^－¹）≤min[r（B），r（C^－¹）]＝r（B）＝r₁，所以有r＝r₁。

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参考答案和解析

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