求微分方程y"-3y'+2y=2xe^x的通解.

题目

相似考题

1.求微分方程y″+4y′= 2ex的通解．（6分）

2.求微分方程dy/dx +y=e-x的通解．

3.在下列微分方程中，以函数y＝C1e^－x＋C2e^4x（C1，C2为任意常数）为通解的微分方程是（　　）。A． y″＋3y′－4y＝0B． y″－3y′－4y＝0C． y″＋3y′＋4y＝0D． y″＋y′－4y＝0

4.微分方程y′-3y =O的通解为______.

参考答案和解析

答案：

解析：

【解】由方程y-3y'+2y=0的特征方程解得特征根，所以方程y-3y'+2y=0的通解为

设y-3y'+2y=2xe^x的特解为y^*=x(ax+b)e^x，则(y^*)'=(ax^2+2ax+bx+b)e^x(y^*)=(ax^2+4ax+bx+2a+2b)e^x
代入原方程，解得a=-1，b=-2，故特解为：y^*=x(-x-2)e^x，所以原方程的通解为

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第1题：

微分方程y"-3y'+2y=xex的待定特解的形式是：

A. y=（Ax2+Bx）ex
B. y=（Ax+B）ex
C. y=Ax2ex
D. y=Axex

答案：A
解析：
提示：特征方程：r2 -3r + 2 = 0，r1 = 1，r2 = 2 ，f（x）=xex，λ=1，为对应齐次方程的特征方程的单根，
∴特解形式y* = x（Ax +B） *ex
第2题：

以y1=ex，y2=e-3x为特解的二阶线性常系数齐次微分方程是：

A. y"-2y'-3y=0
B. y"+2y'-3y=0
C. y"-3y'+2y=0
D. y"+2y'+y=0

答案：B
解析：
B的特解，满足条件。
第3题：

微分方程(3 + 2y)xdx+ (1+x)dy= 0的通解为:
(A) l1+ x2=Cy (B) (1+x2)(3 + 2y) = C

答案：B
解析：
解：选B。
第4题：

微分方程y''+2y=0的通解是：

A. y=
Bsin2x
C. y=
Dcosx

答案：D
解析：
第5题：

微分方程(1+ 2y)xdx + (1+x2)dy=0的通解是（）。

答案：B
解析：
提示：可分离变量方程，解法同1-122题。
第6题：

求微分方程y″+3y′=3x的通解．

答案：
解析：
第7题：

单选题
（2013）微分方程y″-3y′+2y=xex的待定特解的形式是：（）
A
y=（Ax2+Bx）ex
B
y=（Ax+B.ex
C
y=A2ex
D
y=Axex

正确答案： C
解析：暂无解析
第8题：

问答题
设微分方程由通解y＝（C1＋C2x＋x－1）e－x，求此微分方程。

正确答案：
已知y=(C₁+C₂x+x^-¹)e^-^x,求导得
y′=-(C₁+C₂x+x^-¹)e^-^x+(C₂-x^-²)e^-^x=-y+(C₂-x^-²)e^-^x,
y″=-y′+2x^-³e^-^x-(C₂-x^-²)e^-^x=-y′+2x^-³e^-^x-y′-y=-2y′+2x^-³e^-^x-y,整理后可得到所求微分方程y″+2y′+y=2x^-³e^-^x=2e^-^x/x³。
解析：暂无解析
第9题：

填空题
已知y1＝x为微分方程x2y″－2xy′＋2y＝0之一解，则此方程的通解为____。

正确答案： y=c₁x+c₂x²
解析：
设与y₂是与y₁线性无关的一个特解，则y₂′＝u＋xu′，y₂″＝2u′＋xu″，其代入x²y″－2xy′＋2y＝0中，得2x²u′＋x³u″－2xu－2x²u′＋2xu＝0，即x³u″＝0。u″＝0，得u＝x，即y₂＝x²。故原方程的通解为y＝c₁x＋c₂x²。
第10题：

填空题
微分方程x2y″＋3xy′－3y＝x3的通解为____。

正确答案： y=c₁/x³+c₂x+x³/12
解析：
原微分方程为x²y″＋3xy′－3y＝x³，其欧拉方程形式为D（D－1）y＋3Dy－3y＝e^3t，即D²y＋2Dy－3y＝e^3t，即d²y/dt²＋2dy/dt－3y＝e^3t 。解得其通解为y＝c₁e^－^3t＋c₂e^t＋e^3t/12，即y＝c₁/x³＋c₂x＋x³/12。
第11题：

填空题
微分方程xy″＋3y′＝0的通解为____。

正确答案： y=-c₁/(2x²)+c₂
解析：
原微分方程为xy″＋3y′＝0，令y′＝p，则y″＝p′，则原方程变形为xp′＝－3p，即dp/dx＝－3p/x，分离变量并两边积分得∫（dp/p）＝－∫（3/x）dx，ln|p|＝－3ln|x|＋ln|c|，p＝c₁x^－³，即y′＝c₁/x³。故y＝－c₁/（2x²）＋c₂，此即为原微分方程的通解。
第12题：

单选题
微分方程y″－2y′＋2y＝ex的通解为（　　）。
A
y＝e^x（c₁cosx－c₂sinx）＋e^x
B
y＝e^x（c₁cos2x－c₂sin2x）＋e
C
y＝e^x（c₁cosx＋c₂sinx）＋e^x
D
y＝e^x（c₁cos2x＋c₂sin2x）＋e^x

正确答案： B
解析：
原微分方程为y″－2y′＋2y＝e^x，其对应的齐次方程为y″－2y′＋2y＝0，该齐次方程的特征方程为r²－2r＋2＝0，解得r₁_，₂＝1±i。故原方程对应的齐次方程的通解为y(＿)＝e^x（c₁cosx＋c₂sinx）。设y^*＝Ae^x为原方程的特解，将其代入原方程可解得A＝1。故原方程的通解为y＝e^x（c₁cosx＋c₂sinx）＋e^x。
第13题：

微分方程y″+2y=0的通解是( )。

A.y=Asin2x
B.y=Acosx
C.
D.

答案：D
解析：
第14题：

微分方程y''+2y=0的通解是：

(A,B为任意常数）

答案：D
解析：
提示:本题为二次常系数线性齐次方程求通解，写出方程对应的特征方程r2+2 = 0,r =
第15题：

微分方程(1+ 2y)xdx + (1+ x2 )dy = 0的通解为;

（以上各式中，c 为任意常数）

答案：B
解析：
第16题：

微分方程y''+2y=0的通解是（）。

答案：D
解析：
提示：这是二阶常系数线性齐次方程，特征方程为。
第17题：

二阶线性常系数齐次微分方程y″+2y=0的通解为____．

答案：
解析：
第18题：

以为特解的二阶线性常系数齐次微分方程是（）。
- A、y＂-2y＇-3y=0
- B、y＂+2y＇-3y=0
- C、y＂-3y＇+2y=0
- D、y＂-2y＇-3y=0
正确答案:B
第19题：

单选题
以y1=ex，y2=e-3x为特解的二阶线性常系数齐次微分方程是（　　）。[2012年真题]
A
y″-2y′-3y=0
B
y″+2y′-3y=0
C
y″-3y′+2y=0
D
y″-2y′-3y=0

正确答案： D
解析：
因y₁=e^x^，y₂=e^-3x是特解，故r₁=1，r₂=-3是特征方程的根，因而特征方程为r²+2r-3=0。故二阶线性常系数齐次微分方程是：y″+2y′-3y=0。
第20题：

填空题
微分方程y″－2y′＋2y＝ex的通解为____。

正确答案： y=e^x(c₁cosx+c₂sinx)+e^x
解析：
原微分方程为y″－2y′＋2y＝e^x，其对应的齐次方程为y″－2y′＋2y＝0，该齐次方程的特征方程为r²－2r＋2＝0，解得r₁_，₂＝1±i。故原方程对应的齐次方程的通解为y(＿)＝e^x（c₁cosx＋c₂sinx）。设y^*＝Ae^x为原方程的特解，将其代入原方程可解得A＝1。故原方程的通解为y＝e^x（c₁cosx＋c₂sinx）＋e^x。
第21题：

单选题
（2012）以y1=ex，y2=e-3x为特解的二阶线性常系数齐次微分方程是：（）
A
y″-2y′-3y=0
B
y″+2y′-3y=0
C
y″-3y′+2y=0
D
y″+2y′+y=0

正确答案： D
解析：暂无解析
第22题：

单选题
以为特解的二阶线性常系数齐次微分方程是（）。
A
y＂-2y＇-3y=0
B
y＂+2y＇-3y=0
C
y＂-3y＇+2y=0
D
y＂-2y＇-3y=0

正确答案： C
解析：暂无解析
第23题：

单选题
设y＝ex（c1sinx＋c2cosx）（c1、c2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为（　　）。
A
y″＋2y′＋2y＝0
B
y″－2y′＋2y＝0
C
y″－2y′－2y＝0
D
y″＋2y′＋2y＝0

正确答案： A
解析：
根据题中所给的通解y＝e^x（c₁sinx＋c₂cosx）的结构可知，所求方程对应的特征根为λ₁_，₂＝1±i，特征方程为[λ－（1＋i）][λ－（1－i）]＝λ²－2λ＋2＝0，则所求方程为y″－2y′＋2y＝0。

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求微分方程y"-3y'+2y=2xe^x的通解.

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