问答题平行四边形面积公式推导的教学片段： （1）教师布置学生独立思考的内容：我们如何把平行四边形转化为已经知道面积公式的平面图形来研究它的面积公式呢？ （2）学生合作交流不到2分钟，当教师发现有一个小组的同学"过平行四边形的一个顶点作平行四边形的高，把平行四边形分割成一个直角三角形和一个直角梯形，然后再等量拼成一个长方形，所以平行四边形的面积就是底乘高"的方法后，就立即宣布合作结束。 从与合作学习有关的因素的角度分析本材料。

(1)第一，赵老师虽然最后给出了用万有引力定律求解地球质量的方法，但没有起到引导学生学习的作用。学生完全是被动地接受现成的答案。第二、对于学生提出的用密度乘体积计算地球质量的方法，赵老师应该指出此方法的缺陷，即地球的质量分度是不均匀的，地球密度不是一常数。
(2)师：卡文迪许扭秤实验测定了万有引力常量，它的意义是人类第一次用实验的方法验证了万有引力定律，并测得了万有引力常量。
师：它更大的意义是测定了地球的质量。
师：如果是你，你有什么方法测定地球的质量
生1：如果知道地球的半径，可以将地球看成球形，从而求得体积，再用泥土的平均密度求出地球的质量。
师：泥土的密度能代表地球的平均密度吗
生2：可以通过月球到地球的距离与月球绕地球转动的周期算出地球的质量。



师：后面一种方法很好，还有没有其他方法呢



师：大家的计算结果与实验事实比较接近。地球实际上是沿椭圆轨道运动的，而我们通常情况下可以把它的运动近视为圆形轨道，即认为地球在做匀速圆周运动。有兴趣的同学，可以探讨一下这样近似处理会带来什么样的误差
(同学们课后查阅资料。相互讨论)

1、北京四中网校、景山教育网、101远程教育网和中公网校。
2、(1)帮助实现教学目的，体现教学意图：优秀的板书，高度浓缩了教学内容，加大了信息量，可使学生见微知著，帮助教师实现教学目的。
(2)突出重点难点，形成知识结构：好的板书则能对教学内容删繁就简，抓主剔次，把教学重点、难点和知识点，串珠成线，结线成网，形成结构，使学生一目了然，易于巩固记忆。
(3)强化直观教学，增强教学效果：板书可以通过图形、图表、线条、符号等形式使教材内容变得更加形象、直观，对学生具有一定的吸引力，能促使学生更好地集中注意力，有助于学生的理解和领会，提高学习效率。
(4)引导学生学习，培养学生思维品质：结合扼要的板书和教师的讲解和描述，能更好地引导学生思考，训练思维能力，提高学生分析探究能力。

本题主要以初中数学教学中的重要内容之一“平行四边形的性质定理”为例，平行四边形的性质定理的基础知识，初中数学课程内容、课程标准及实施建议，教学过程的基本要素及教学方法的选择，教学设计中的教学目标、教学过程及教学策略等相关知识，比较综合性地考查学科知识、课程知识、教学知识以及教学技能的基本知识和基本技能。

（1）新课标倡导三维教学目标，知识与技能目标、过程与方法目标、情感态度与价值观目标。知识与技能目标，是对学生学习结果的描述，即学生同学习所要达到的结果，又叫结果性目标。这种目标一般有三个层次的要求：学懂、学会、能应用。

过程与方法目标，是学生在教师的指导下，如何获取知识和技能的程序和具体做法，是过程中的目标，又叫程序性目标。这种目标强调三个过程：做中学、学中做、反思。

情感态度与价值观目标，是学生对过程或结果的体验后的倾向和感受，是对学习过程和结果的主观经验，又叫体验性目标。它的层次有认同、体会、内化三个层次。

知识与技能目标是过程与方法目标、情感态度与价值观目标的基础；过程与方法目标是实现知识与技能目标的载体，情感态度与价值观目标对其他目标有重要的促进和优化作用。

（2）让学生发现平行四边形性质的教学流程，可以从不同角度进行设计，如“观察—猜想—验证—归纳”，“动手操作—小组讨论—归纳总结”等，但重要的是让学生在学习过程中进行主动学习，教师只是起到引导的作用，充分体现“学生是主体，教师是主导”的教学理念。

（3）平行四边形关于边、角的性质定理，即平行四边形的对边以及对角相等，这一定理的证明是通过证明三角形全等来证明对边、对角相等来进行的。注意在平行四边形性质证明的教学流程中，务必使学生领悟证明过程中所用到的转化思想与方法。

杨老师在教学的最后环节，让学生强化记忆了平行四边形的面积公式，对公式的推导过程进行回顾反思，并没有体现评价方式的多样化。

二、考题解析
【教学过程】
(一)引入新课
复习平行四边形的面积公式及推导过程。提问：我们已学会了用转化的方法推导平行四边形面积的计算公式，那怎样计算梯形的面积呢?
引出课题。
(二)讲解新知
提问：你能仿照求平行四边形面积的办法，把梯形也转化成已学过的图形，计算出它的面积吗?
学生操作，教师巡回观察指导。



提问：转化得到的平行四边形的底和高与梯形的底和高有什么关系?每个梯形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系?
学生汇报讨论结果。
并尝试总结梯形面积的计算公式：梯形的面积=(上底+下底)×高÷2)，字母表示公式为S=(a+b)h÷2。
(三)课堂练习
练习：求出堤坝横截面的面积。



(四)小结作业
提问：今天有什么收获?引导学生回顾：梯形面积公式的推导过程。
作业：课后练习。



梯形的面积
梯形面积的计算公式：梯形的面积=(上底+下底)×高÷2)
字母表示公式为S=(a+b)h÷2。
【答辩题目解析】
1.你在教学过程中，当有学生在梯形面积的推导过程中有不同的思路时，你是怎么处理的?
【参考答案】
作为老师，首先应该鼓励学生的创新性思维，鼓励他们多动手操作、动脑思考;然后与其他学生一起验证这种方法的正确与否，得到什么结论;最后，鼓励学生还有没有其他的推导方法，能不能通过其他方式，转化推导出梯形的面积。
2.本节课中用到什么数学思想方法?
【参考答案】
转化的思想方法。把梯形的面积转化为平行四边形的面积，从而推导出梯形的面积公式。

1.
本节课主要是激发学生原有知识经验，促进正迁移，实现圆面积公式的推导。例如新课一开始，就可围绕“怎样计算一个圆的面积呢”引导学生回忆已学过的一般图形的面积的含义，促进对圆面积概念的理解。同时，再引导学生回顾以前研究的多边形面积时，我们是采取怎样的办法，将多边形转化为已学的图形来求面积，为学生学习圆面积公式的推导提供思维策略的支撑。在此基础上提出“是否也可以把圆转化为已学的图形呢?”，后续的教学便顺理成章，水到渠成，有利于学生展开自主探索、合作交流，进而抽象概括归纳出圆的面积公式。
2.
转化、极限的思想方法。

【参考设计】
问题（一）：两种方法蕴含的是转化与化归思想。学生将三角形通过剪拼转化为平行四边形或长方形，再通过平行四边形或长方形的面积公式得到三角形的面积公式。
问题（二）：
1.知识与技能目标
探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积，并能应用公式解决简单的实际问题。
2.过程与方法目标
使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步的推理能力。
3.情感态度与价值观目标
让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。
问题（三）：
一、动手操作，导入新知
1.师：同学们，我们来玩一个游戏好吗？请大家拿出信封内的长方形、正方形和平行四边形。请大家想一想，如何在每个图形上折一次，使折痕两边的形状、大小完全一样，先思考或讨论有几种折法，再开始折，并用彩色笔画出折痕。（学生思考、讨论）
2.学生代表上台汇报操作结果。
3.师根据汇报有选择地在黑板上贴出四种折法。
4.让学生观察后提问。
师：这三个图形分别折成了两个形状、大小完全一样的什么阁形？
生：这三个图形分别折成了两个形状、大小完全一样的三角形。
师：如果我们知道长方形长为30厘米，宽为20厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积是多少？你是怎样求出来的？
生：长方形的面积是30X 20 = 600(平方厘米），每个三角形的面积是600÷2 = 300(平方厘米）。
师：如果我们知道正方形边长为30厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积又是多少呢？为什么？
生：正方形的面积是30 X 30 = 900(平方厘米），每个三角形的面积是900 ÷ 2 = 450 (平方厘米）。
师：如果我们知道平行四边形的底为40厘米，高为20厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积呢？为什么？
生：平行四边形的面积是40 X 20 = 800(平方厘米），每个三角形的面积是800÷ 2 = 400 (平方厘米）。
[设计理由]通过动手操作，既做到复习旧知，又让学生初步理解三角形的面积与平行四边形之间的联系，为新知的探索做好铺垫。
5.师：看来今天我们班的同学很乐意表现自己，老师真为你们感到高兴。如果我们从桌子上任意取一个三角形，（师拿起任意一个三角形模型）这个三角形的面积怎样求呢？这就是我们今天要学习研究的内容。
[设计意图]从不会计算的面积图形中揭示课题，激发学生的探究兴趣。
二、探索三角形面积计算公式
1.玩游戏，小组内交流问题。
师：刚才同学们玩了一次折一折的游戏，想不想再继续玩？好，现在我们再来玩一个。拿出信封里面的学具，从中找出两个形状、大小完全一样的三角形拼一拼，看你发现了什么？同时要思考以下几个问题：（1)两个完全一样的三角形能拼出什么图形？（ 2)拼成图形的面积你会算吗？（ 3)拼成的图形与原来每一个三角形有什么联系？
(学生在小组里动手拼一拼，并相互交流以上问题）
[设计理由]给学生留出足够的空间，发挥学生的主观能动性和合作精神，自主探索三角形的面积的公式。
2.学生代表上台演示汇报。
生：我们用两个完全一样的锐角三角形拼成了一个平行四边形，拼成的平行四边形的面积=底X高，每一个锐角三角形的面积是这个平行四边形面积的一半，所以一个三角形的面积=底X高÷ 2。
师：同学们，你们明白了吗？请把掌声送给刚才这组。
师：刚才这个小组是用两个完全一样的锐角三角形来拼组的。你们还有其他新的发现吗？
(分别点用直角三角形、钝角三角形拼组的小组代表汇报，学生汇报每一种拼组后都贴 在黑板上。老师小结时，故意把其中的一个三角形拿掉，并用虚线表示）
[设计理由]让各组学生口头表达自己小组的推导过程，锻炼学生整理思维、理顺思路的能力和口头表达能力。
3.根据学生的汇报，老师小结。
师：看来不管是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，只要两个完全一样的三角形就能拼成一个平行四边形，大家都说其中一个三角形的面积是平行四边形面积的一半。是不是任意一个三角形面积是任意一个平行四边形面积的一半？
生：不是。三角形的底和高必须与平行四边形的底和高相等时才是。
师：看来，我们通过玩一玩、拼一拼，知道了怎样求一个三角形的面积了。那谁来说一说三角形的面积的计算公式是什么？
生：三角形的面积=底X高÷ 2。
师：同学们，老师有点不明白，为什么写这个公式时用三角形的底乘高呢？ “底X高”表示什么意思？为什么要“÷2”？
生：“底X高”表示用两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积；因为一个角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，所以要“÷2 ”。
师：同学们，如果用a表示三角形的底，h表示三角形的高，s表示三角形的面积，三角形面积的字母公式是什么？
生：s = ah ÷2(教师板书）
4.介绍教材上的数学知识。
师：同学们，你们知道吗？今天我们一起动手推导出来的三角形的面积计算公式，很早以前，我们的祖先就已经发现了，请看屏幕。（多媒体出示）
师：同学们，我国古代数学家固然伟大。但是，老师觉得你们更了不起！他们年纪很大了才发现的，而咱们年纪轻轻的也找到三角形面积的计算方法了。来，把热烈的掌声送给自己！
[设计理由]通过数学知识的介绍，渗透爱国主义思想教育，同时增强学生利用知识解决实际问题的信心。
三、学以致用，解决问题
师：同学们，我们已经推导出了三角形面积计算公式，现在我们就用三角形的面积计算公式解决一些实际问题。
(1)计算红领巾的面积。
(2)计算三角形标志牌的面积。
(3)画面积相等的三角形。
四、课堂小结
师：本节课你学到了什么新知识？你觉得计算三角形面积时应注意什么？通过本节课 的学习，你有哪些收获和感受？
(学生汇报略）
(参考来源：http://www. pep. com cn/xxsx/jszx/tbjxzy/xs5ajxzy/wenzi/201201/120120106_ 1094762. htm，有改动）